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1. (2024天津)估计$\sqrt{10}$的值在()。
A.$1$和$2$之间
B.$2$和$3$之间
C.$3$和$4$之间
D.$4$和$5$之间
A.$1$和$2$之间
B.$2$和$3$之间
C.$3$和$4$之间
D.$4$和$5$之间
答案
C
解析
首先，找到两个完全平方数，使得$10$位于它们之间，易知$9 ＜ 10 ＜ 16$。
由于$9$和$16$都是完全平方数，可以取它们的平方根，得到$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$。
由此可知，$\sqrt{10}$的值位于$3$和$4$之间。
由于$9$和$16$都是完全平方数，可以取它们的平方根，得到$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$。
由此可知，$\sqrt{10}$的值位于$3$和$4$之间。
2. 若$m=\sqrt{40}-2$，则估计$m$的值所在的范围是()。
A.$1＜m＜2$
B.$2＜m＜3$
C.$3＜m＜4$
D.$4＜m＜5$
A.$1＜m＜2$
B.$2＜m＜3$
C.$3＜m＜4$
D.$4＜m＜5$
答案
D
解析
因为$36＜40＜49$，所以$\sqrt{36}＜\sqrt{40}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{40}＜7$，两边同时减2得$6 - 2＜\sqrt{40}-2＜7 - 2$，$4＜m＜5$。
3. 如果$\sqrt{5.29}=2.3$，$\sqrt{52.9}\approx7.273$，$\sqrt{529}=23$，$\sqrt{5290}\approx72.73$，那么$\sqrt{0.0529}$的值()。
A.约等于$0.723$
B.等于$0.023$
C.约等于$0.0723$
D.等于$0.23$
A.约等于$0.723$
B.等于$0.023$
C.约等于$0.0723$
D.等于$0.23$
答案
D
解析
根据已知 $\sqrt{5.29} = 2.3$，将 $0.0529$ 转化为 $5.29 × 10^{-2}$，则 $\sqrt{0.0529} = \sqrt{5.29 × 10^{-2}} = \sqrt{5.29} × \sqrt{10^{-2}} = 2.3 × 0.1 = 0.23$。
4. 比较下列各组数的大小：
(1)$\sqrt{7}\_\_\_\_\_\_3$；
(2)$\sqrt{50}\_\_\_\_\_\_7$；
(3)$\frac{\sqrt{3}-1}{3}\_\_\_\_\_\_\frac{1}{3}$；
(4)$\sqrt{15}+4\_\_\_\_\_\_\sqrt{64}$。
(1)$\sqrt{7}\_\_\_\_\_\_3$；
(2)$\sqrt{50}\_\_\_\_\_\_7$；
(3)$\frac{\sqrt{3}-1}{3}\_\_\_\_\_\_\frac{1}{3}$；
(4)$\sqrt{15}+4\_\_\_\_\_\_\sqrt{64}$。
答案
(1)
因为$7＜9$，
根据算术平方根的性质，若$a＜b≥0$，则$\sqrt{a}＜\sqrt b$，
所以$\sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，
而$\sqrt{9} = 3$，
所以$\sqrt{7} ＜ 3$；
(2)
因为$50＞49$，
根据算术平方根的性质，若$a＜b≥0$，则$\sqrt{a}＜\sqrt b$，
所以$\sqrt{50} ＞ \sqrt{49}$，
而$\sqrt{49} = 7$，
所以$\sqrt{50} ＞ 7$；
(3)
因为$3＜4$，
根据算术平方根的性质，若$a＜b≥0$，则$\sqrt{a}＜\sqrt b$，
所以$\sqrt{3} ＜ \sqrt{4}$，
而$\sqrt{4} = 2$，
所以$\sqrt{3} ＜ 2$，
$\sqrt{3}-1＜1$，
所以$\frac{\sqrt{3} - 1}{3} ＜ \frac{1}{3}$；
(4)
因为$15＜16$不（或利用$15 ＜ 4^2 +(-1)^2（仅用于说明，实际不这么比较）$，直接算平方根值），
根据算术平方根的性质，若$a＜b≥0$，则$\sqrt{a}＜\sqrt b$，
所以$\sqrt{15} ＜ \sqrt{16}$，
而$\sqrt{16} = 4$，
所以$\sqrt{15} ＜ 4$，
$\sqrt{15} + 4 ＜ 8$，
而$\sqrt{64} = 8$，
所以$\sqrt{15} + 4 ＜ \sqrt{64}$；
故答案为：$＜$；$＞$；$＜$；$＜$。
因为$7＜9$，
根据算术平方根的性质，若$a＜b≥0$，则$\sqrt{a}＜\sqrt b$，
所以$\sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，
而$\sqrt{9} = 3$，
所以$\sqrt{7} ＜ 3$；
(2)
因为$50＞49$，
根据算术平方根的性质，若$a＜b≥0$，则$\sqrt{a}＜\sqrt b$，
所以$\sqrt{50} ＞ \sqrt{49}$，
而$\sqrt{49} = 7$，
所以$\sqrt{50} ＞ 7$；
(3)
因为$3＜4$，
根据算术平方根的性质，若$a＜b≥0$，则$\sqrt{a}＜\sqrt b$，
所以$\sqrt{3} ＜ \sqrt{4}$，
而$\sqrt{4} = 2$，
所以$\sqrt{3} ＜ 2$，
$\sqrt{3}-1＜1$，
所以$\frac{\sqrt{3} - 1}{3} ＜ \frac{1}{3}$；
(4)
因为$15＜16$不（或利用$15 ＜ 4^2 +(-1)^2（仅用于说明，实际不这么比较）$，直接算平方根值），
根据算术平方根的性质，若$a＜b≥0$，则$\sqrt{a}＜\sqrt b$，
所以$\sqrt{15} ＜ \sqrt{16}$，
而$\sqrt{16} = 4$，
所以$\sqrt{15} ＜ 4$，
$\sqrt{15} + 4 ＜ 8$，
而$\sqrt{64} = 8$，
所以$\sqrt{15} + 4 ＜ \sqrt{64}$；
故答案为：$＜$；$＞$；$＜$；$＜$。
5. 用计算器依次按键“$\sqrt{}$”“$1$”“$4$”“$4$”“$=$”，最终显示的结果是()。
A.$12$
B.$122$
C.$\pm12$
D.$\pm122$
A.$12$
B.$122$
C.$\pm12$
D.$\pm122$
答案
A
解析
根据题意，需用计算器计算 $\sqrt{144}$ 的值，依次按键“$\sqrt{}$”“$1$”“$4$”“$4$”“$=$”后，计算器会显示 $\sqrt{144}$ 的结果。
由于算术平方根是非负数，且 $12^2 = 144$，因此 $\sqrt{144} = 12$，最终显示结果为 $12$。
由于算术平方根是非负数，且 $12^2 = 144$，因此 $\sqrt{144} = 12$，最终显示结果为 $12$。
6. 某同学在用计算器估算$6$的算术平方根时，需要用到按键()。
答案
A
解析
要计算$6$的算术平方根，需要使用计算器的平方根功能，即按下平方根键$\sqrt{}$。
其他选项中，$x^2$表示平方，$x^3$表示立方，$\sin$表示正弦函数，均不适合本题的要求。
其他选项中，$x^2$表示平方，$x^3$表示立方，$\sin$表示正弦函数，均不适合本题的要求。
7. 用计算器求下列各式的值（结果精确到$0.001$）：
（1）$\sqrt{1396}$；
（2）$\sqrt{0.34}$；
（3）$\sqrt{\frac{20}{11}}$；
（4）$-\sqrt{9.89}$。
（1）$\sqrt{1396}$；
（2）$\sqrt{0.34}$；
（3）$\sqrt{\frac{20}{11}}$；
（4）$-\sqrt{9.89}$。
答案
（1）$\sqrt{1396} \approx 37.363$；
（2）$\sqrt{0.34} \approx 0.583$；
（3）$\sqrt{\frac{20}{11}} = \sqrt{1.\overset{.}{8}\overset{.}{1}} \approx 1.348$；
（4）$-\sqrt{9.89} \approx -3.145$。
（2）$\sqrt{0.34} \approx 0.583$；
（3）$\sqrt{\frac{20}{11}} = \sqrt{1.\overset{.}{8}\overset{.}{1}} \approx 1.348$；
（4）$-\sqrt{9.89} \approx -3.145$。
8. 如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为$16\mathrm{cm}^2$的大正方形纸片。
(1)小正方形纸片的边长为$\mathrm{cm}$；
(2)若沿着此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为$2:1$，且面积为$12\mathrm{cm}^2$？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由。
(1)小正方形纸片的边长为$\mathrm{cm}$；
(2)若沿着此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为$2:1$，且面积为$12\mathrm{cm}^2$？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由。
答案
(1)设小正方形边长为$a$，两张小正方形面积和为$2a^2$，大正方形面积为$16\,\mathrm{cm}^2$，则$2a^2=16$，$a^2=8$，$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
(2)设长方形宽为$x\,\mathrm{cm}$，长为$2x\,\mathrm{cm}$，面积$2x· x=12$，即$2x^2=12$，$x^2=6$，$x=\sqrt{6}$，长为$2\sqrt{6}\approx4.899\,\mathrm{cm}$。大正方形边长为$\sqrt{16}=4\,\mathrm{cm}$，$2\sqrt{6}＞4$，故不能剪出。
(1)$2\sqrt{2}$；(2)不能，理由见上述。
(2)设长方形宽为$x\,\mathrm{cm}$，长为$2x\,\mathrm{cm}$，面积$2x· x=12$，即$2x^2=12$，$x^2=6$，$x=\sqrt{6}$，长为$2\sqrt{6}\approx4.899\,\mathrm{cm}$。大正方形边长为$\sqrt{16}=4\,\mathrm{cm}$，$2\sqrt{6}＞4$，故不能剪出。
(1)$2\sqrt{2}$；(2)不能，理由见上述。
