11. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形如图所示。若大正方形的面积为$13$，小正方形的面积为$1$，直角三角形的两直角边为$a$和$b$，则$(a + b)^{2}$的值是。

25

大正方形面积为13，故其边长为$\sqrt{13}$，即直角三角形斜边为$\sqrt{13}$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = 13$。小正方形面积为1，其边长为1，观察图形知小正方形边长为$b - a$（$b ＞ a$），则$(b - a)^2 = 1$，即$a^2 - 2ab + b^2 = 1$。将$a^2 + b^2 = 13$代入得$13 - 2ab = 1$，解得$ab = 6$。所以$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 13 + 2×6 = 25$。

12. 提升题 如图，在$□ ABCD$中，$AB = 8\ cm$，$AD = 12\ cm$，点$P$在$AD$边上以$1\ cm/s$的速度从点$A$向点$D$运动，点$Q$在$BC$边上以$4\ cm/s$的速度从点$C$出发，在$CB$间往返运动。两个点同时出发，当点$P$到达点$D$时停止运动(同时点$Q$也停止运动)。当$t =$时，四边形$PDQB$是平行四边形。

$\frac{24}{5}$，$8$，$\frac{48}{5}$

在平行四边形$□ABCD$中，$AD// BC$且$AD = BC = 12\space cm$。要使四边形$PDQB$为平行四边形，需$PD = QB$（因为$PD// QB$已成立）。
点$P$运动时间为$t\space s$，则$AP = t\space cm$，$PD = 12 - t\space cm$。点$Q$速度为$4\space cm/s$，在$BC$上往返运动，$BC = 12\space cm$，单程时间为$3\space s$，运动周期为$6\space s$，分以下情况讨论：
1. $0≤ t≤3\space s$：$Q$从$C$向$B$运动，$CQ = 4t\space cm$，$QB = 12 - 4t\space cm$。由$12 - t = 12 - 4t$得$t = 0$（初始时刻，舍去）。
2. $3 ＜ t≤6\space s$：$Q$从$B$向$C$运动，$QB = 4(t - 3)\space cm$。由$12 - t = 4(t - 3)$得$t = \frac{24}{5} = 4.8\space s$。
3. $6 ＜ t≤9\space s$：$Q$从$C$向$B$运动，$CQ = 4(t - 6)\space cm$，$QB = 12 - 4(t - 6) = 36 - 4t\space cm$。由$12 - t = 36 - 4t$得$t = 8\space s$。
4. $9 ＜ t≤12\space s$：$Q$从$B$向$C$运动，$QB = 4(t - 9)\space cm$。由$12 - t = 4(t - 9)$得$t = \frac{48}{5} = 9.6\space s$。
综上，$t = \frac{24}{5}\space s$，$8\space s$，$\frac{48}{5}\space s$。

三、解答题
13. 计算：
（1）$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{12} × 3\sqrt{2} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2}$。

（1）
$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$
$ = \sqrt{9 × 2} - \sqrt{16 × 2} + \sqrt{2}$
$ = 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2}$
$ = (3\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) + \sqrt{2}$
$ = -\sqrt{2}+ \sqrt{2}$
$ = 0$
（2）
$\sqrt{12} × 3\sqrt{2} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2}$
$ = 2\sqrt{3} × 3\sqrt{2} + (3 - 2\sqrt{3} × \sqrt{2} + 2)$
$ = 6\sqrt{6} + (5 - 2\sqrt{6})$
$ = 6\sqrt{6} + 5 - 2\sqrt{6}$
$ = (6\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) + 5$
$ = 4\sqrt{6} + 5$

14. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，点$A$关于$BC$的对称点为$D$，连接$BD$，$CD$。求证四边形$ABDC$是菱形。

证明：
∵点A关于BC的对称点为D，
∴BC垂直平分AD，
∴AB=BD，AC=CD。
∵AB=AC，
∴AB=BD=CD=AC。
∴四边形ABDC是菱形。

15. 如图，在$10 × 6$的正方形网格中，小正方形的顶点叫作格点。已知$A$，$B$两点是格点，仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图。（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图①，以线段$AB$为边长作菱形$ABCD$（正方形除外）；
（2）如图②，以线段$AB$为边作一个正方形。

(1) 如图①，取格点C，使$AB=BC=CD=DA$，
连接$AB,BC,CD,DA$，
则四边形$ABCD$为菱形。
(图中$C$点应选$AB$上方2单位，左（或右）方4单位的格点)。
(2) 如图②，取格点C，取$△ AOB$构直角，
使$AB$为一条直角边，
$O$为直角顶点，$AB=AO$的构方格对角线长度，
则$C$点应选$A$点上方3单位，右方1单位的格点，或$B$点下方1单位，右方3单位的格点，
连接$AB,BC,CA$（或$AB,BC,AD$），
则四边形$ABCE$（或$ABCD$）为正方形。

16. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙，测得梯子顶端到地面的距离$AB = 2\ m$，$BC = 1.5\ m$。梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面$2.4\ m$。求小巷的宽度。

设梯子长度为 $ l $，小巷宽度为 $ x \, \mathrm{m} $，梯子底端到左墙距离为 $ CD $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ AB = 2 \, \mathrm{m} $，$ BC = 1.5 \, \mathrm{m} $，由勾股定理得：
$ l^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 1.5^2 = 4 + 2.25 = 6.25 $，则 $ l = 2.5 \, \mathrm{m} $。
梯子斜靠左墙时，顶端到地面距离为 $ 2.4 \, \mathrm{m} $，在 $ \mathrm{Rt}△ EDC $ 中，$ ED = 2.4 \, \mathrm{m} $，$ EC = l = 2.5 \, \mathrm{m} $，由勾股定理得：
$ CD^2 = EC^2 - ED^2 = 2.5^2 - 2.4^2 = 6.25 - 5.76 = 0.49 $，则 $ CD = 0.7 \, \mathrm{m} $。
小巷宽度 $ x = CD + BC = 0.7 + 1.5 = 2.2 \, \mathrm{m} $。
答：小巷的宽度为 $ 2.2 \, \mathrm{m} $。