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18. 如图所示，A、B、C、D 是装满某种材料（细盐、铁粉、米粉中的一种）的四个不透明的轻质密闭容器。在不打开容器的前提下，将其中装有相同材料的两个容器挑选出来。提供的器材有：① 与密闭容器相同的空容器各一个，② 天平和水。按下列步骤在空白处填上合适的内容。
（1）用天平分别测出图中四个密闭容器的质量 $m_{\mathrm{A}}$、$m_{\mathrm{B}}$、$m_{\mathrm{C}}$、$m_{\mathrm{D}}$。
（2）。
(3)若满足关系式：(用测量的物理量表示)，则 A、C 两个容器中所装的材料相同。
（1）用天平分别测出图中四个密闭容器的质量 $m_{\mathrm{A}}$、$m_{\mathrm{B}}$、$m_{\mathrm{C}}$、$m_{\mathrm{D}}$。
（2）。
(3)若满足关系式：(用测量的物理量表示)，则 A、C 两个容器中所装的材料相同。
答案
用天平分别测量出四个空容器装满水后的质量
m_A'、m_B'、m_C'、m_D'
$ \frac {m_A}{m_A'}=\frac {m_C}{m_C'}$
【解析】
要判断容器中材料是否相同，可通过比较材料的密度来判断。由于容器是轻质的，材料质量等于密闭容器的质量，材料体积等于容器容积。利用天平测量空容器装满水的质量，结合水的密度可得到容器容积。
（2）需测量四个空容器装满水后的质量；
（3）当A、C材料密度相同时，根据$\rho=\frac{m}{V}$，容器容积$V=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$，可推导出对应比例关系。
【答案】
（2）用天平分别测量出四个空容器装满水后的质量$m_{\mathrm{A}}'$、$m_{\mathrm{B}}'$、$m_{\mathrm{C}}'$、$m_{\mathrm{D}}'$
$（3）\boldsymbol{\frac{m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}'}=\frac{m_{\mathrm{C}}}{m_{\mathrm{C}}'}}$
【知识点】
密度的特性、密度公式应用
【点评】
本题考查密度知识的实际应用，通过转换法借助水的密度间接比较材料密度，要求学生能灵活推导密度相关的比例关系。
【难度系数】
0.6
m_A'、m_B'、m_C'、m_D'
$ \frac {m_A}{m_A'}=\frac {m_C}{m_C'}$
【解析】
要判断容器中材料是否相同，可通过比较材料的密度来判断。由于容器是轻质的，材料质量等于密闭容器的质量，材料体积等于容器容积。利用天平测量空容器装满水的质量，结合水的密度可得到容器容积。
（2）需测量四个空容器装满水后的质量；
（3）当A、C材料密度相同时，根据$\rho=\frac{m}{V}$，容器容积$V=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$，可推导出对应比例关系。
【答案】
（2）用天平分别测量出四个空容器装满水后的质量$m_{\mathrm{A}}'$、$m_{\mathrm{B}}'$、$m_{\mathrm{C}}'$、$m_{\mathrm{D}}'$
$（3）\boldsymbol{\frac{m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}'}=\frac{m_{\mathrm{C}}}{m_{\mathrm{C}}'}}$
【知识点】
密度的特性、密度公式应用
【点评】
本题考查密度知识的实际应用，通过转换法借助水的密度间接比较材料密度，要求学生能灵活推导密度相关的比例关系。
【难度系数】
0.6
解析
【分析】
要判断容器中所装材料是否相同，本质是比较材料的密度是否相等。由于容器是轻质的，密闭容器的质量等于内部材料的质量；材料的体积等于容器的容积，而容器容积可通过装满水的质量结合水的密度计算得出。具体思路：
1. 已测密闭容器质量（即材料质量），下一步需获取容器容积，因此要测量空容器装满水的质量；
2. 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，当A、C材料密度相同时，结合容器容积$V=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$，推导得出质量的比例关系。
【解析】
（2）因为容器容积等于材料体积，而容器容积可通过装满水的质量结合水的密度计算得出，所以需要用天平分别测量出四个空容器装满水后的质量$m_{\mathrm{A}}'$、$m_{\mathrm{B}}'$、$m_{\mathrm{C}}'$、$m_{\mathrm{D}}'$；
（3）已知容器轻质，材料质量$m_{\mathrm{材}}=m_{\mathrm{容器总质量}}$，容器容积$V=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$（$m_{\mathrm{水}}$为装满水的质量，即$m'$）。当A、C材料密度相同时，根据$\rho=\frac{m}{V}$可得：
$\rho_A=\frac{m_{\mathrm{A}}}{V_{\mathrm{A}}}=\frac{m_{\mathrm{A}}}{\frac{m_{\mathrm{A}}'}{\rho_{\mathrm{水}}}}=\frac{m_{\mathrm{A}}\rho_{\mathrm{水}}}{m_{\mathrm{A}}'}$，
$\rho_C=\frac{m_{\mathrm{C}}}{V_{\mathrm{C}}}=\frac{m_{\mathrm{C}}}{\frac{m_{\mathrm{C}}'}{\rho_{\mathrm{水}}}}=\frac{m_{\mathrm{C}}\rho_{\mathrm{水}}}{m_{\mathrm{C}}'}$，
因为$\rho_A=\rho_C$，且$\rho_{\mathrm{水}}$为定值，所以$\frac{m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}'}=\frac{m_{\mathrm{C}}}{m_{\mathrm{C}}'}$。
【答案】
（2）用天平分别测量出四个空容器装满水后的质量$m_{\mathrm{A}}'$、$m_{\mathrm{B}}'$、$m_{\mathrm{C}}'$、$m_{\mathrm{D}}'$
（3）$\boldsymbol{\frac{m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}'}=\frac{m_{\mathrm{C}}}{m_{\mathrm{C}}'}}$
【知识点】
密度的特性、密度公式应用
【点评】
本题考查密度知识的实际应用，通过转换法借助水的密度间接获取容器容积，进而比较材料密度，要求学生能灵活推导密度相关的比例关系，理解等效替代的思想。
【难度系数】
0.6
要判断容器中所装材料是否相同，本质是比较材料的密度是否相等。由于容器是轻质的，密闭容器的质量等于内部材料的质量；材料的体积等于容器的容积，而容器容积可通过装满水的质量结合水的密度计算得出。具体思路：
1. 已测密闭容器质量（即材料质量），下一步需获取容器容积，因此要测量空容器装满水的质量；
2. 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，当A、C材料密度相同时，结合容器容积$V=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$，推导得出质量的比例关系。
【解析】
（2）因为容器容积等于材料体积，而容器容积可通过装满水的质量结合水的密度计算得出，所以需要用天平分别测量出四个空容器装满水后的质量$m_{\mathrm{A}}'$、$m_{\mathrm{B}}'$、$m_{\mathrm{C}}'$、$m_{\mathrm{D}}'$；
（3）已知容器轻质，材料质量$m_{\mathrm{材}}=m_{\mathrm{容器总质量}}$，容器容积$V=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$（$m_{\mathrm{水}}$为装满水的质量，即$m'$）。当A、C材料密度相同时，根据$\rho=\frac{m}{V}$可得：
$\rho_A=\frac{m_{\mathrm{A}}}{V_{\mathrm{A}}}=\frac{m_{\mathrm{A}}}{\frac{m_{\mathrm{A}}'}{\rho_{\mathrm{水}}}}=\frac{m_{\mathrm{A}}\rho_{\mathrm{水}}}{m_{\mathrm{A}}'}$，
$\rho_C=\frac{m_{\mathrm{C}}}{V_{\mathrm{C}}}=\frac{m_{\mathrm{C}}}{\frac{m_{\mathrm{C}}'}{\rho_{\mathrm{水}}}}=\frac{m_{\mathrm{C}}\rho_{\mathrm{水}}}{m_{\mathrm{C}}'}$，
因为$\rho_A=\rho_C$，且$\rho_{\mathrm{水}}$为定值，所以$\frac{m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}'}=\frac{m_{\mathrm{C}}}{m_{\mathrm{C}}'}$。
【答案】
（2）用天平分别测量出四个空容器装满水后的质量$m_{\mathrm{A}}'$、$m_{\mathrm{B}}'$、$m_{\mathrm{C}}'$、$m_{\mathrm{D}}'$
（3）$\boldsymbol{\frac{m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}'}=\frac{m_{\mathrm{C}}}{m_{\mathrm{C}}'}}$
【知识点】
密度的特性、密度公式应用
【点评】
本题考查密度知识的实际应用，通过转换法借助水的密度间接获取容器容积，进而比较材料密度，要求学生能灵活推导密度相关的比例关系，理解等效替代的思想。
【难度系数】
0.6
19. 小红利用托盘天平(最大测量值为 $200$ g，分度值为 $0.2$ g)、量筒、水、食盐、烧杯、白纸、滴管、勺子等器材配制盐水，步骤如下：
(1)调节天平时，将天平放在水平台面上，将游码移至标尺左端的“0”刻度线处。若此时指针偏向分度盘中央刻度线的左侧，则应将平衡螺母向调节，使指针对准分度盘中央的刻度线。
(2)为称量出 $2$ g 的盐，小红先将一张白纸放在天平左盘，仅移动游码使天平再次平衡，游码示数如图(a)所示，则白纸的质量为 g；接着，应该先将游码移至 g 处，再用勺子向左盘内的白纸上逐渐加盐，直至天平平衡。
(3)用量筒量取 $50$ mL 的水，全部倒入烧杯中，再将 $2$ g 的盐全部倒入烧杯中(假设加盐后烧杯中水的体积不变)，则小红所配制的盐水的密度为 g/cm³。
(4)小红发现可以用实验中的天平和烧杯制作“密度计”。她测出空烧杯的质量为 $50$ g，然后在烧杯中加水，使烧杯和水的总质量为 $100$ g，并在水面位置处做好标记，如图(b)所示。测量液体密度时，将待测液体加至标记处，用天平称量出烧杯和液体的总质量 $m$。为方便使用该“密度计”，小红给出了如下使用说明：
① 图(c)中横坐标表示 $m$，纵坐标表示待测液体密度 $\rho$。请在图(c)的坐标系中画出 $\rho - m$ 图像，并在纵坐标轴上标出 $\rho$ 的最大值。
② 理论上，该“密度计”可以鉴别密度差异不小于 g/cm³ 的液体。
(1)调节天平时，将天平放在水平台面上，将游码移至标尺左端的“0”刻度线处。若此时指针偏向分度盘中央刻度线的左侧，则应将平衡螺母向调节，使指针对准分度盘中央的刻度线。
(2)为称量出 $2$ g 的盐，小红先将一张白纸放在天平左盘，仅移动游码使天平再次平衡，游码示数如图(a)所示，则白纸的质量为 g；接着，应该先将游码移至 g 处，再用勺子向左盘内的白纸上逐渐加盐，直至天平平衡。
(3)用量筒量取 $50$ mL 的水，全部倒入烧杯中，再将 $2$ g 的盐全部倒入烧杯中(假设加盐后烧杯中水的体积不变)，则小红所配制的盐水的密度为 g/cm³。
(4)小红发现可以用实验中的天平和烧杯制作“密度计”。她测出空烧杯的质量为 $50$ g，然后在烧杯中加水，使烧杯和水的总质量为 $100$ g，并在水面位置处做好标记，如图(b)所示。测量液体密度时，将待测液体加至标记处，用天平称量出烧杯和液体的总质量 $m$。为方便使用该“密度计”，小红给出了如下使用说明：
① 图(c)中横坐标表示 $m$，纵坐标表示待测液体密度 $\rho$。请在图(c)的坐标系中画出 $\rho - m$ 图像，并在纵坐标轴上标出 $\rho$ 的最大值。
② 理论上，该“密度计”可以鉴别密度差异不小于 g/cm³ 的液体。
答案
右
0.4
2.4
【解析】
1. 第(1)问：调节天平时，指针偏向分度盘左侧，根据“左偏右调”原则，应将平衡螺母向右调节。
2. 第(2)问：由图(a)可知，游码示数为0.4g，即白纸质量为0.4g；要称量2g盐，需将游码移至$0.4\ \mathrm{g}+2\ \mathrm{g}=2.4\ \mathrm{g}$处，再加盐至天平平衡。
3. 第(3)问：水的体积$V=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$，水的质量$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V=1\ \mathrm{g/cm}^3×50\ \mathrm{cm}^3=50\ \mathrm{g}$，盐水总质量$m_{\mathrm{总}}=50\ \mathrm{g}+2\ \mathrm{g}=52\ \mathrm{g}$，盐水密度$\rho=\frac{m_{\mathrm{总}}}{V}=\frac{52\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=1.04\ \mathrm{g/cm}^3$。
4. 第(4)问：
① 空烧杯质量$m_0=50\ \mathrm{g}$，加水至总质量100g时，水的质量$m_{\mathrm{水}}'=100\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$，液体体积$V=\frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}}=50\ \mathrm{cm}^3$。待测液体质量$m_{\mathrm{液}}=m-50\ \mathrm{g}$，密度$\rho=\frac{m-50\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}$。当$m=200\ \mathrm{g}$时，$\rho=\frac{200\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$，即纵轴最大值为$3\ \mathrm{g/cm}^3$，图像为过(50,0)和(200,3)的直线。
② 天平分度值为0.2g，液体质量最小变化量为0.2g，密度最小变化量$\Delta\rho=\frac{0.2\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=0.004\ \mathrm{g/cm}^3$，故能鉴别密度差异不小于$0.004\ \mathrm{g/cm}^3$的液体。
【答案】
(1) 右
(2) 0.4；2.4
(3) 1.04
(4) ① 图像为过点(50,0)和(200,3)的直线，纵轴最大值为$3\ \mathrm{g/cm}^3（$图像如参考答案所示）；② 0.004
【知识点】
天平的使用；密度的计算；密度计原理
【点评】
本题综合考查天平的调节与使用、密度计算及自制密度计的原理，注重实验操作与公式应用的结合，对学生的分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1.04
0.004
解析
【分析】
1. 第(1)问：回忆天平调节规则，指针偏左说明左盘偏重，根据“左偏右调”原则，平衡螺母需向右调节。
2. 第(2)问：仅移动游码使放白纸的天平平衡，游码示数等于白纸质量；要称量2g盐，需将游码移至白纸质量与盐质量之和的刻度处，加盐后天平平衡时，盐的质量即为2g。
3. 第(3)问：先利用水的体积和密度计算水的质量，再得到盐水总质量，结合加盐后体积不变的条件，用密度公式计算盐水密度。
4. 第(4)问：①先算出标记处液体的体积，推导液体密度与总质量$m$的关系式，根据天平最大测量值算出最大密度，进而确定图像的关键点并画图；②根据天平分度值得到质量最小变化量，结合液体体积计算出密度的最小差异值。
【解析】
(1) 调节天平时，指针偏向分度盘中央刻度线左侧，说明左盘较重，根据天平“左偏右调”的调节原则，应将平衡螺母向右调节。
(2) 由图(a)可知，游码分度值为0.2g，示数为0.4g，此时天平平衡，故白纸质量为$\boldsymbol{0.4\ \mathrm{g}}$；要称量2g盐，需将游码移至$0.4\ \mathrm{g}+2\ \mathrm{g}=\boldsymbol{2.4\ \mathrm{g}}$处，再向左盘加盐至天平平衡，此时盐的质量为2g。
(3) 水的体积$V=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$，根据$\rho=\frac{m}{V}$，水的质量：
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V=1\ \mathrm{g/cm}^3×50\ \mathrm{cm}^3=50\ \mathrm{g}$
盐水总质量：
$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{水}}+m_{\mathrm{盐}}=50\ \mathrm{g}+2\ \mathrm{g}=52\ \mathrm{g}$
加盐后体积不变，仍为$50\ \mathrm{cm}^3$，则盐水密度：
$\rho_{\mathrm{盐水}}=\frac{m_{\mathrm{总}}}{V}=\frac{52\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=\boldsymbol{1.04\ \mathrm{g/cm}^3}$
(4) ① 空烧杯质量$m_0=50\ \mathrm{g}$，烧杯和水总质量为100g时，水的质量：
$m_{\mathrm{水}}'=100\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$
水的体积（即标记处液体体积）：
$V_{\mathrm{液}}=\frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$
待测液体质量$m_{\mathrm{液}}=m-50\ \mathrm{g}$，则液体密度：
$\rho=\frac{m_{\mathrm{液}}}{V_{\mathrm{液}}}=\frac{m-50\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}$
天平最大测量值为200g，当$m=200\ \mathrm{g}$时，最大密度：
$\rho_{\mathrm{最大}}=\frac{200\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$
当$m=50\ \mathrm{g}$时，$\rho=0$，因此$\rho-m$图像是过点$(50,0)$和$(200,3)$的直线，纵轴最大值为$3\ \mathrm{g/cm}^3$。
② 天平分度值为0.2g，即液体质量最小变化量$\Delta m=0.2\ \mathrm{g}$，则密度最小变化量：
$\Delta\rho=\frac{\Delta m}{V_{\mathrm{液}}}=\frac{0.2\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=0.004\ \mathrm{g/cm}^3$
即该“密度计”可鉴别密度差异不小于$\boldsymbol{0.004\ \mathrm{g/cm}^3}$的液体。
【答案】
(1) 右
(2) 0.4；2.4
(3) 1.04
(4) ① 图像为过点$(50,0)$和$(200,3)$的直线，纵轴最大值为$3\ \mathrm{g/cm}^3$；② 0.004
【知识点】
天平的使用；密度的计算；自制密度计原理
【点评】
本题将天平操作、密度计算与自制密度计原理结合，注重实验与理论的联系，要求学生灵活运用公式分析实验问题，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：回忆天平调节规则，指针偏左说明左盘偏重，根据“左偏右调”原则，平衡螺母需向右调节。
2. 第(2)问：仅移动游码使放白纸的天平平衡，游码示数等于白纸质量；要称量2g盐，需将游码移至白纸质量与盐质量之和的刻度处，加盐后天平平衡时，盐的质量即为2g。
3. 第(3)问：先利用水的体积和密度计算水的质量，再得到盐水总质量，结合加盐后体积不变的条件，用密度公式计算盐水密度。
4. 第(4)问：①先算出标记处液体的体积，推导液体密度与总质量$m$的关系式，根据天平最大测量值算出最大密度，进而确定图像的关键点并画图；②根据天平分度值得到质量最小变化量，结合液体体积计算出密度的最小差异值。
【解析】
(1) 调节天平时，指针偏向分度盘中央刻度线左侧，说明左盘较重，根据天平“左偏右调”的调节原则，应将平衡螺母向右调节。
(2) 由图(a)可知，游码分度值为0.2g，示数为0.4g，此时天平平衡，故白纸质量为$\boldsymbol{0.4\ \mathrm{g}}$；要称量2g盐，需将游码移至$0.4\ \mathrm{g}+2\ \mathrm{g}=\boldsymbol{2.4\ \mathrm{g}}$处，再向左盘加盐至天平平衡，此时盐的质量为2g。
(3) 水的体积$V=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$，根据$\rho=\frac{m}{V}$，水的质量：
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V=1\ \mathrm{g/cm}^3×50\ \mathrm{cm}^3=50\ \mathrm{g}$
盐水总质量：
$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{水}}+m_{\mathrm{盐}}=50\ \mathrm{g}+2\ \mathrm{g}=52\ \mathrm{g}$
加盐后体积不变，仍为$50\ \mathrm{cm}^3$，则盐水密度：
$\rho_{\mathrm{盐水}}=\frac{m_{\mathrm{总}}}{V}=\frac{52\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=\boldsymbol{1.04\ \mathrm{g/cm}^3}$
(4) ① 空烧杯质量$m_0=50\ \mathrm{g}$，烧杯和水总质量为100g时，水的质量：
$m_{\mathrm{水}}'=100\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$
水的体积（即标记处液体体积）：
$V_{\mathrm{液}}=\frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$
待测液体质量$m_{\mathrm{液}}=m-50\ \mathrm{g}$，则液体密度：
$\rho=\frac{m_{\mathrm{液}}}{V_{\mathrm{液}}}=\frac{m-50\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}$
天平最大测量值为200g，当$m=200\ \mathrm{g}$时，最大密度：
$\rho_{\mathrm{最大}}=\frac{200\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$
当$m=50\ \mathrm{g}$时，$\rho=0$，因此$\rho-m$图像是过点$(50,0)$和$(200,3)$的直线，纵轴最大值为$3\ \mathrm{g/cm}^3$。
② 天平分度值为0.2g，即液体质量最小变化量$\Delta m=0.2\ \mathrm{g}$，则密度最小变化量：
$\Delta\rho=\frac{\Delta m}{V_{\mathrm{液}}}=\frac{0.2\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=0.004\ \mathrm{g/cm}^3$
即该“密度计”可鉴别密度差异不小于$\boldsymbol{0.004\ \mathrm{g/cm}^3}$的液体。
【答案】
(1) 右
(2) 0.4；2.4
(3) 1.04
(4) ① 图像为过点$(50,0)$和$(200,3)$的直线，纵轴最大值为$3\ \mathrm{g/cm}^3$；② 0.004
【知识点】
天平的使用；密度的计算；自制密度计原理
【点评】
本题将天平操作、密度计算与自制密度计原理结合，注重实验与理论的联系，要求学生灵活运用公式分析实验问题，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
