13. 如图①，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $BC$，$DC$ 上的点，$AF ⊥ DE$.
(1) 求证：$AF = DE$；
(2) 如图②，在正方形 $ABCD$ 中，$M$，$N$，$P$，$Q$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 上的点，且 $MP ⊥ NQ$，$MP$ 与 $NQ$ 是否相等？请说明理由.

13. 提示：(1) 证$△ CDE ≌ △ DAF$. (2) 相等，作$MF ⊥ CD$于点F，作$QE ⊥ BC$于点E，证$△ MPF ≌ △ QNE$即可.

(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AD = CD$，$∠ ADC = ∠ C = 90°$。
∵ $AF ⊥ DE$，设交点为 $O$，则 $∠ AOD = 90°$，
∴ $∠ DAF + ∠ ADE = 90°$。
又 $∠ CDE + ∠ ADE = 90°$，
∴ $∠ DAF = ∠ CDE$。
在 $△ DAF$ 和 $△ CDE$ 中，
$\begin{cases}∠ DAF = ∠ CDE, \\AD = CD, \\∠ ADF = ∠ DCE = 90°,\end{cases}$
∴ $△ DAF ≌ △ CDE$（ASA），
∴ $AF = DE$。
(2) 解：$MP = NQ$。
理由如下：
过点 $M$ 作 $MF ⊥ CD$ 于点 $F$，过点 $Q$ 作 $QE ⊥ BC$ 于点 $E$，
则 $MF = AD = AB = QE$，$∠ MFP = ∠ QEN = 90°$。
∵ $MP ⊥ NQ$，设交点为 $G$，则 $∠ MGN = 90°$，
∴ $∠ EMP + ∠ QNM = 90°$。
又 $∠ QNE + ∠ QNM = 90°$，
∴ $∠ EMP = ∠ QNE$。
在 $△ MPF$ 和 $△ QNE$ 中，
$\begin{cases}∠ EMP = ∠ QNE, \\∠ MFP = ∠ QEN, \\MF = QE,\end{cases}$
∴ $△ MPF ≌ △ QNE$（AAS），
∴ $MP = NQ$。

14. 如图①，在菱形 $ABCD$ 中，$P$ 是 $AC$ 上一点，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，且 $PE = PB$.
(1) 求证：① $△ BCP ≌ △ DCP$；② $∠ DPE = ∠ ABC$；
(2) 把菱形 $ABCD$ 改为正方形，其他条件不变（如图②），若 $BP = \sqrt{3}$，求 $DE$ 的长.

14. (1) 证明：①
∵四边形ABCD是菱形，
∴$CB = CD$，$∠ BCP = ∠ DCP$. 在$△ BCP$和$△ DCP$中，$\begin{cases} CB = CD, \\ ∠ BCP = ∠ DCP, \\ CP = PC, \end{cases}$
∴$△ BCP ≌ △ DCP(SAS)$. ②证明：连接BD，延长BP到点F，
∵$△ BCP ≌ △ DCP$，
∴$PB = PD = PE$.
∴$∠ PBC = ∠ PEC$，$∠ PBD = ∠ PDB$，
∴$∠ DPE = ∠ DPF + ∠ EPF = 2∠ PBD + 2∠ PBC = 2∠ DBC$.
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD平分$∠ ABC$，$∠ ABC = 2∠ DBC$，
∴$∠ DPE = ∠ ABC$. (2) 解：连接DP，同(1)可得$∠ DPE = ∠ DCE = 90^{\circ}$，$DP = BP = PE$.
∴$DE = \sqrt{2}PE$，
∴$DE = \sqrt{6}$.