例2 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 9$,$AD = 3\sqrt{3}$,点$P$是边$BC$上的动点(点$P$不与点$B$、$C$重合),作$PQ // BD$,交边$CD$于点$Q$,再把$\triangle PQC$沿$PQ$对折,点$C$的对应点是点$R$.设$CP$的长度为$x$,$\triangle PQR$与矩形$ABCD$重叠部分的面积为$y$.
(1)求$\angle CQP$的度数.
(2)当$x$取何值时,点$R$落在矩形$ABCD$的边$AB$上?
(3)求$y$与$x$之间的函数表达式.
分析:(1)由三角函数知识可求出$\angle CDB = 30^{\circ}$,进而求得$\angle CQP$的度数;
(2)在$\triangle RPB$中,可得$2(3\sqrt{3} - x) = x$,解方程即可;
(3)分点$R$在矩形$ABCD$的内部或边$AB$上和点$R$在矩形$ABCD$的外部两种情况讨论即可.
解:(1)由三角函数知识,得$\angle CDB = 30^{\circ}$,进而求得$\angle CQP = 30^{\circ}$.
(2)根据题意,得$\triangle RPQ \cong \triangle CPQ$.
$\therefore \angle RPQ = \angle CPQ$,$RP = CP$.
由(1),知$\angle CQP = 30^{\circ}$,
$\therefore \angle RPQ = \angle CPQ = 60^{\circ}$,$\angle RPB = 60^{\circ}$.
$\therefore RP = 2BP$.
$\therefore 2(3\sqrt{3} - x) = x$.解这个方程,得$x = 2\sqrt{3}$.
$\therefore$当$x$取$2\sqrt{3}$时,点$R$落在矩形$ABCD$的边$AB$上.
(3)当点$R$在矩形$ABCD$的内部或边$AB$上时,$CP$的范围是$0 ＜ x \leq 2\sqrt{3}$,此时,$\triangle PQR$与矩形$ABCD$重叠部分的面积为$\triangle PQR$的面积,等于$\triangle CPQ$的面积.$\therefore y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$.
当点$R$在矩形$ABCD$的外部时,$CP$的范围是$2\sqrt{3} ＜ x ＜ 3\sqrt{3}$,此时,$\triangle PQR$与矩形$ABCD$重叠部分为四边形.
$\therefore y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} - (\frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2} - 18x + 18\sqrt{3}) = -\sqrt{3}x^{2} + 18x - 18\sqrt{3}$.
解答这类运动变化问题时,一般要借助几何图形的三种基本运动形式(平移、旋转、翻折)来解决.要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识,不管点动、线动还是形动,要善于借助动态思维的观点来分析,不被“动”所迷惑,从特殊情形入手,把动态的问题转化为静态的问题来研究,揭示问题的本质,发现运动中的各个运动对象之间互相依存的关系,从而找到解决问题的突破口和途径.
(1)求$\angle CQP$的度数.
(2)当$x$取何值时,点$R$落在矩形$ABCD$的边$AB$上?
(3)求$y$与$x$之间的函数表达式.
分析:(1)由三角函数知识可求出$\angle CDB = 30^{\circ}$,进而求得$\angle CQP$的度数;
(2)在$\triangle RPB$中,可得$2(3\sqrt{3} - x) = x$,解方程即可;
(3)分点$R$在矩形$ABCD$的内部或边$AB$上和点$R$在矩形$ABCD$的外部两种情况讨论即可.
解:(1)由三角函数知识,得$\angle CDB = 30^{\circ}$,进而求得$\angle CQP = 30^{\circ}$.
(2)根据题意,得$\triangle RPQ \cong \triangle CPQ$.
$\therefore \angle RPQ = \angle CPQ$,$RP = CP$.
由(1),知$\angle CQP = 30^{\circ}$,
$\therefore \angle RPQ = \angle CPQ = 60^{\circ}$,$\angle RPB = 60^{\circ}$.
$\therefore RP = 2BP$.
$\therefore 2(3\sqrt{3} - x) = x$.解这个方程,得$x = 2\sqrt{3}$.
$\therefore$当$x$取$2\sqrt{3}$时,点$R$落在矩形$ABCD$的边$AB$上.
(3)当点$R$在矩形$ABCD$的内部或边$AB$上时,$CP$的范围是$0 ＜ x \leq 2\sqrt{3}$,此时,$\triangle PQR$与矩形$ABCD$重叠部分的面积为$\triangle PQR$的面积,等于$\triangle CPQ$的面积.$\therefore y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$.
当点$R$在矩形$ABCD$的外部时,$CP$的范围是$2\sqrt{3} ＜ x ＜ 3\sqrt{3}$,此时,$\triangle PQR$与矩形$ABCD$重叠部分为四边形.
$\therefore y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} - (\frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2} - 18x + 18\sqrt{3}) = -\sqrt{3}x^{2} + 18x - 18\sqrt{3}$.
解答这类运动变化问题时,一般要借助几何图形的三种基本运动形式(平移、旋转、翻折)来解决.要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识,不管点动、线动还是形动,要善于借助动态思维的观点来分析,不被“动”所迷惑,从特殊情形入手,把动态的问题转化为静态的问题来研究,揭示问题的本质,发现运动中的各个运动对象之间互相依存的关系,从而找到解决问题的突破口和途径.
答案
