8. 如图，在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$D$，$E$ 是 $△ ABC$ 内的两点，$AE$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，$∠ D = ∠ DBC = 60°$，点 $F$ 在 $BC$ 上，点 $E$ 在 $DF$ 上。若 $BD = 7\ \mathrm{cm}$，$DE = 3\ \mathrm{cm}$，则线段 $BC$ 的长为()。


A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$

8. C

9. 如图，$C$ 为线段 $AE$ 上一动点(不与点 $A$，$E$ 重合)，在 $AE$ 同侧分别作等边三角形 $ABC$ 和等边三角形 $CDE$，$AD$ 与 $BE$ 交于点 $O$，$AD$ 与 $BC$ 交于点 $P$，$BE$ 与 $CD$ 交于点 $Q$，连接 $PQ$。有以下五个结论：① $AD = BE$；② $PQ// AE$；③ $AP = BQ$；④ $△ CPQ$ 为等边三角形；⑤ $∠ AOB = 60°$。其中正确的有。(填序号)

9. ①②③④⑤

10. 【数学应用】如图①所示的是某超市入口的双翼闸门。如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $10\ \mathrm{cm}$，双翼边缘 $AC = BD = 54\ \mathrm{cm}$，且与闸机侧立面的夹角 $∠ PCA = ∠ QDB = 30°$。求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度。

10. 解:如图,过点 A 作 AE⊥CP 于点 E,过点 B 作 BF⊥DQ 于点 F,则在 Rt△ACE 中,AE=1/2 AC=1/2 ×54=27(cm)。
同理可得 BF=27 cm。

又
∵点 A 与点 B 之间的距离为 10 cm,
∴通过闸机的物体的最大宽度为 27+10+27=64(cm),
∴当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为 64 cm。

11. 【项目式学习】已知在等边三角形 $ABC$ 中，点 $E$ 在 $AB$ 上，点 $D$ 在 $CB$ 的延长线上，且 $ED = EC$。
【特殊情况，探索结论】
(1) 如图①，当点 $E$ 为 $AB$ 的中点时，探索线段 $AE$ 与 $DB$ 的大小关系，请你直接写出结论：$AE$$DB$。(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
【特例启发，解答题目】
(2) 如图②，当点 $E$ 为 $AB$ 边上任意一点时，探索线段 $AE$ 与 $DB$ 的大小关系，请你写出结论：$AE$$DB$。(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)理由如下：如图②，过点 $E$ 作 $EF// BC$，交 $AC$ 于点 $F$。(请你完成以下解答过程)
【拓展结论，设计新题】
(3) 在等边三角形 $ABC$ 中，点 $E$ 在直线 $AB$ 上，点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上，且 $ED = EC$。若 $△ ABC$ 的边长为 $1$，$AE = 2$，求 $CD$ 的长。(请你画出相应图形，并直接写出结果)

11. (1)=
(2)解:= 理由如下:
如题图②,过点 E 作 EF//BC,交 AC 于点 F。
∵△ABC 为等边三角形,
∴△AEF 为等边三角形,
∴AE=EF=AF,
∴BE=CF。
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD。
∵∠DEB=60°-∠D,
∠ECF=60°-∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF。
在△DBE 和△EFC 中,
{DE=EC,
∠DEB=∠ECF,
BE=FC,
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,
∴AE=DB。
(3)解:由题易知,点 E 在 AB 延长线上或在 BA 延长线上。
①点 E 在 AB 的延长线上时,过点 E 作 EF//BC,交 AC 的延长线于点 F,如图①所示。
同理可得:△DBE≌△EFC,△AEF 是等边三角形,
∴DB=EF=AE=2。
又 BC=1,
∴CD=BC+DB=3。

②点 E 在 BA 的延长线上时,如图②所示。
设∠ECA=x,
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ECB=60°+x,∠DBE=120°。
∵ED=EC,
∴∠EDC=∠ECB=60°+x。
∵∠EDC+∠DBE=60°+x+120°=180°+x＞180°,这与三角形内角和为 180°矛盾,
∴点 E 在 BA 延长线上不符合题意,舍去。
综上所述,CD=3。