6. [问题情境]在综合实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题.图①、图②都是$8×8$的正方形网格，每个小正方形的边长均为$1$，每个小正方形的顶点称为格点.
[操作发现]小颖在图①中画出$△ ABC$，其顶点$A$，$B$，$C$都是格点，同时构造正方形$BDEF$，使它的顶点都在格点上，且它的边$DE$，$EF$分别经过点$C$，$A$，她借助此图求出了$△ ABC$的面积.

(1) 在图①中，小颖所画的$△ ABC$的三边长分别是$AB=$，$BC=$，$AC=$；$△ ABC$的面积为.
[解决问题]
(2) 已知在$△ ABC$中，$AB=\sqrt{10}$，$BC = 2\sqrt{5}$，$AC = 5\sqrt{2}$，请你根据小颖的思路，在图②的正方形网格中画出$△ ABC$，并直接写出$△ ABC$的面积.

解：
(1) 根据勾股定理：
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$BC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
$AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
$△ ABC$的面积利用割补法计算：
$S_{△ ABC}=S_{正方形BDEF}-S_{△ ABF}-S_{△ BCD}-S_{△ ACE}=4×4-\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×3=16-6-2-3=5$。
(2) 在图②中画出$△ ABC$（示例：取格点$A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(6,6)$，连接$AB$、$BC$、$AC$），
$△ ABC$的面积$=5$。

7. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别记作$a$，$b$，$c$.如图①，分别以$△ ABC$的三条边为边向外作正方形，正方形的面积由小到大分别记作$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，则有$S_{1}+S_{2}=S_{3}$.
(1) 如图②，分别以$△ ABC$的三条边为直径向外作半圆，半圆的面积由小到大分别记作$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，请问$S_{1}+S_{2}$与$S_{3}$有怎样的数量关系？并证明你的结论.
(2) 分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图③所示，其面积由小到大分别记作$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，根据(2)中的探索，直接写出$S_{1}+S_{2}$与$S_{3}$的数量关系.
(3) 若在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC = 6$，$BC = 8$，求图④中阴影部分的面积.

(1)
$S_{1}+S_{2}=S_{3}$，证明如下：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$。
分别计算半圆面积：
$S_{1}=\frac{1}{2}π(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$，
$S_{2}=\frac{1}{2}π(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$，
$S_{3}=\frac{1}{2}π(\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$。
则$S_{1}+S_{2}=\frac{π b^2}{8}+\frac{π a^2}{8}=\frac{π(a^2+b^2)}{8}=\frac{π c^2}{8}=S_{3}$，
故$S_{1}+S_{2}=S_{3}$。
(2)
$S_{1}+S_{2}=S_{3}$
(3)
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$AC=6$，$BC=8$，$∠ C=90°$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
由(2)的结论$S_{1}+S_{2}=S_{3}$，可得$S_{1}+S_{2}-S_{3}=0$，
因此阴影部分面积$=S_{1}+S_{2}+S_{△ ABC}-S_{3}=S_{△ ABC}=24$。
答：阴影部分的面积为24。