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1. “菲尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次.截至2022年，“菲尔兹奖”得主中最年轻的八位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则这组数据的中位数是()
A.28
B.29
C.30
D.31
A.28
B.29
C.30
D.31
答案
C
解析
将数据从小到大排列：28，29，29，29，31，31，31，31。共有8个数据，中间两个数是第4个和第5个，即29和31。中位数为(29+31)÷2=30。
2. 某学校考查各个班级的教室卫生情况时包括以下三项：地面、黑板、门窗.其中“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低.根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考查比较合适的比例分配分别为()
A.20%，30%，50%
B.50%，30%，20%
C.50%，20%，30%
D.30%，50%，20%
A.20%，30%，50%
B.50%，30%，20%
C.50%，20%，30%
D.30%，50%，20%
答案
B
解析
根据题目中“地面最重要，黑板次之，门窗要求最低”可知，地面占比应最大，黑板次之，门窗最小。选项中只有B选项50%（地面）＞30%（黑板）＞20%（门窗）符合要求。
3. 有一组被墨水污染的数据(均为整数)：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图.下列说法错误的是()
A.这组数据的下四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的上四分位数是15
D.被墨水污染的数据中有一个数是3，有一个数是18
A.这组数据的下四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的上四分位数是15
D.被墨水污染的数据中有一个数是3，有一个数是18
答案
D
解析
共有12个数据，排序后记为$x_1≤ x_2≤···≤ x_{12}$。
中位数$Q_2$是第6、7个数的平均数，选项B中中位数为10，即$\frac{x_6+x_7}{2}=10$，可得$x_6+x_7=20$。
下四分位数$Q_1$是前6个数的中位数，即第3、4个数的平均数，选项A中$Q_1=4$，则$\frac{x_3+x_4}{2}=4$，可得$x_3+x_4=8$，结合已知数据中存在多个4，可满足。
上四分位数$Q_3$是后6个数的中位数，即第9、10个数的平均数，选项C中$Q_3=15$，则$\frac{x_9+x_{10}}{2}=15$，已知数据中有14、16，可得$14+16=30$，满足$\frac{14+16}{2}=15$。
被污染数据不一定含3（最小值可能为4），故D错误。
中位数$Q_2$是第6、7个数的平均数，选项B中中位数为10，即$\frac{x_6+x_7}{2}=10$，可得$x_6+x_7=20$。
下四分位数$Q_1$是前6个数的中位数，即第3、4个数的平均数，选项A中$Q_1=4$，则$\frac{x_3+x_4}{2}=4$，可得$x_3+x_4=8$，结合已知数据中存在多个4，可满足。
上四分位数$Q_3$是后6个数的中位数，即第9、10个数的平均数，选项C中$Q_3=15$，则$\frac{x_9+x_{10}}{2}=15$，已知数据中有14、16，可得$14+16=30$，满足$\frac{14+16}{2}=15$。
被污染数据不一定含3（最小值可能为4），故D错误。
4. 熹熹在计算某统计量时列出的没有化简的算式如下：
$ s^{2}=\frac{(5-\overline{x})^{2}+(2-\overline{x})^{2}+(5-\overline{x})^{2}+(4-\overline{x})^{2}}{4} $.
芳芳对这组数有以下四个说法：①平均数是4；②中位数是4；③众数是5；④样本容量是3.芳芳的说法正确的是()
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
$ s^{2}=\frac{(5-\overline{x})^{2}+(2-\overline{x})^{2}+(5-\overline{x})^{2}+(4-\overline{x})^{2}}{4} $.
芳芳对这组数有以下四个说法：①平均数是4；②中位数是4；③众数是5；④样本容量是3.芳芳的说法正确的是()
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
答案
C
解析
由方差公式可知，样本数据为5，2，5，4，样本容量为4（分母），故④错误。
数据总和：5+2+5+4=16，平均数$\overline{x}=16÷4=4$，①正确。
数据排序：2，4，5，5，众数为5（出现2次），③正确。
中位数为中间两数平均值：(4+5)÷2=4.5，②错误。
综上，①③正确。
数据总和：5+2+5+4=16，平均数$\overline{x}=16÷4=4$，①正确。
数据排序：2，4，5，5，众数为5（出现2次），③正确。
中位数为中间两数平均值：(4+5)÷2=4.5，②错误。
综上，①③正确。
5. 某市上周工作日每天的平均气温如表所示，则上周该市工作日每天的平均气温的众数是.
答案
13
解析
众数是一组数据中出现次数最多的数据。在这组数据16,13,13,15,13中，13出现了3次，出现的次数最多，所以众数是13。
6. 已知一组样本数据分别为31，6，12，19，17，16，11，则该组样本数据的离差平方和为.
答案
$376$
解析
首先，计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{1}{7} × (31 + 6 + 12 + 19 + 17 + 16 + 11) = \frac{112}{7} = 16$，
然后，计算每个数据与平均数的差，并求这些差的平方：
$(31 - 16)^{2} = 225$，
$(6 - 16)^{2} = 100$，
$(12 - 16)^{2} = 16$，
$(19 - 16)^{2} = 9$，
$(17 - 16)^{2} = 1$，
$(16 - 16)^{2} = 0$，
$(11 - 16)^{2} = 25$，
最后，将这些平方差相加，得到离差平方和：
$225 + 100 + 16 + 9 + 1 + 0 + 25 = 376$。
$\bar{x} = \frac{1}{7} × (31 + 6 + 12 + 19 + 17 + 16 + 11) = \frac{112}{7} = 16$，
然后，计算每个数据与平均数的差，并求这些差的平方：
$(31 - 16)^{2} = 225$，
$(6 - 16)^{2} = 100$，
$(12 - 16)^{2} = 16$，
$(19 - 16)^{2} = 9$，
$(17 - 16)^{2} = 1$，
$(16 - 16)^{2} = 0$，
$(11 - 16)^{2} = 25$，
最后，将这些平方差相加，得到离差平方和：
$225 + 100 + 16 + 9 + 1 + 0 + 25 = 376$。
7. 一组数据1，2，■，4，■，6，7，其中有两个数据被涂黑，平均值为4，那么这组数据方差的最小值为.
答案
$\frac{26}{7}$
解析
设被涂黑的两个数据为$x$、$y$，由平均值为4可得$1+2+x+4+y+6+7=4×7$，即$x+y=8$。方差$s^2=\frac{1}{7}[(1-4)^2+(2-4)^2+(x-4)^2+(4-4)^2+(y-4)^2+(6-4)^2+(7-4)^2]$，计算已知项得$\frac{1}{7}[9+4+0+4+9+(x-4)^2+(y-4)^2]=\frac{1}{7}[26+(x-4)^2+(y-4)^2]$。因$x+y=8$，设$x=4+t$，$y=4-t$，则$(x-4)^2+(y-4)^2=2t^2$，当$t=0$时最小为0，此时方差最小为$\frac{26}{7}$。
8. 在某校举办的演讲比赛中，将七名评委给小华的评分(单位：分)分成{7.5，8，8，8.5}，{9，9.5，10}两组，则这样分组的组内离差平方和为.
答案
1
解析
第一组数据{7.5，8，8，8.5}，平均数为(7.5+8+8+8.5)/4=8，离差平方和为(7.5-8)²+(8-8)²+(8-8)²+(8.5-8)²=0.25+0+0+0.25=0.5；第二组数据{9，9.5，10}，平均数为(9+9.5+10)/3=9.5，离差平方和为(9-9.5)²+(9.5-9.5)²+(10-9.5)²=0.25+0+0.25=0.5；总组内离差平方和为0.5+0.5=1。
9. 某工厂车间共有10名工人，调查每名工人的日均生产能力，获得数据制成如下统计图.根据提供的信息，解答下列问题：
(1)10名工人的日均生产件数的众数是，10名工人的日均生产件数的中位数是.
(2)计算10名工人的日均生产件数的平均数.
(3)若要使占60%的工人都能完成任务，应选什么统计量(平均数、中位数、众数)做日生产件数的定额？说明理由.
某工厂每名工人日均生产能力统计图
]
(1)10名工人的日均生产件数的众数是，10名工人的日均生产件数的中位数是.
(2)计算10名工人的日均生产件数的平均数.
(3)若要使占60%的工人都能完成任务，应选什么统计量(平均数、中位数、众数)做日生产件数的定额？说明理由.
某工厂每名工人日均生产能力统计图
]答案
(1)13；12
(2)总和：$8×3 + 10×1 + 12×2 + 13×4 = 24 + 10 + 24 + 52 = 110$，平均数：$110÷10 = 11$
(3)中位数。理由：10名工人中，日均生产件数≥12的有6人，占60%，能使60%的工人完成任务。
(2)总和：$8×3 + 10×1 + 12×2 + 13×4 = 24 + 10 + 24 + 52 = 110$，平均数：$110÷10 = 11$
(3)中位数。理由：10名工人中，日均生产件数≥12的有6人，占60%，能使60%的工人完成任务。
