1. 已知 $□ ABCD$，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()。

A.$∠ A = ∠ B$
B.$∠ A = ∠ C$
C.$AC = BD$
D.$AB ⊥ BC$

1. B

2. 已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$。下列条件中，能判定四边形 $ABCD$ 为矩形的是()。

A.$AB = BC$
B.$AC ⊥ BD$
C.$OA = OB$
D.$∠ ABD = ∠ CBD$

2. C

3. 若矩形较短边长为 $4\ cm$，两条对角线的夹角为 $60°$，则矩形的周长为 $cm$。

3. $ 8 + 8 \sqrt { 3 } $

4. 已知一个矩形的三个顶点的坐标分别为 $(-2, 3)$，$(1, 3)$，$(-2, -4)$，那么第四个顶点的坐标是 。

4. $ ( 1 , - 4 ) $

5. 已知一组邻边长分别为 $5$ 和 $8$ 的平行四边形 $ABCD$，利用四边形的不稳定性可以改变四边形 $ABCD$ 的形状，改变过程中，四边形 $ABCD$ 的面积最大为 ，此时四边形 $ABCD$ 是 形。

5. 40 矩

6. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$AB // DE$，$AF // DC$。点 $E$，$F$ 在边 $BC$ 上，且四边形 $AEFD$ 是平行四边形。
(1) $AD$ 与 $BC$ 存在怎样的数量关系？请说明理由。
(2) 当 $AB = DC$ 时，求证：$□ AEFD$ 是矩形。

1. （1）
解：$AD=\frac{1}{3}BC$。
理由：
因为$AD// BC$，$AB// DE$，$AF// DC$，
所以四边形$ABED$和四边形$AFCD$都是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质，$AD = BE$，$AD=FC$。
又因为四边形$AEFD$是平行四边形，所以$AD = EF$。
那么$BC=BE + EF+FC$，把$AD = BE$，$AD = EF$，$AD = FC$代入可得$BC = 3AD$，即$AD=\frac{1}{3}BC$。
2. （2）
证明：
因为四边形$ABED$和四边形$AFCD$都是平行四边形，所以$DE = AB$，$AF = DC$。
又因为$AB = DC$，所以$DE = AF$。
已知四边形$AEFD$是平行四边形，根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形），因为平行四边形$AEFD$的对角线$DE = AF$，所以$□ AEFD$是矩形。

7. 如图，将 $□ ABCD$ 的边 $BA$ 延长到点 $E$，使 $AE = AB$，连结 $EC$，交 $AD$ 于点 $F$，连结 $AC$，$ED$。
(1) 求证：四边形 $ACDE$ 是平行四边形。
(2) 若 $∠ AFC = 2∠ B$，求证：四边形 $ACDE$ 是矩形。

1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$。
又因为$AE = AB$，所以$AE = CD$。
且$AE// CD$（由$AB// CD$，$AE$是$BA$延长线）。
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ACDE$是平行四边形。
2. （2）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，所以$∠ B=∠ EAF$。
因为$∠ AFC=∠ EAF + ∠ AEF$（三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），且$∠ AFC = 2∠ B$。
把$∠ B=∠ EAF$代入$∠ AFC = 2∠ B$，得$∠ AFC=∠ EAF+∠ B$，所以$∠ EAF=∠ AEF$。
所以$AF = EF$。
因为四边形$ACDE$是平行四边形，所以$AD = 2AF$，$EC = 2EF$（平行四边形对角线互相平分）。
所以$AD = EC$。
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形$ACDE$是矩形。
综上，（1）已证四边形$ACDE$是平行四边形；（2）已证四边形$ACDE$是矩形。