【变式 2】有甲、乙、丙三种文具, 若购买甲 1 件, 乙 2 件比购买丙 1 件多花 9 元; 若购买甲 2 件, 丙 8 件比购买乙 1 件多花 18 元. 现在购买甲、乙、丙各一件文具, 则共需费用().

A.7 元
B.8 元
C.9 元
D.10 元

C

设甲、乙、丙单价分别为x元、y元、z元。根据题意得：
$\begin{cases} x + 2y - z = 9 &① \\ 2x - y + 8z = 18 &② \end{cases}$
由①得$z = x + 2y - 9$，代入②：$2x - y + 8(x + 2y - 9) = 18$，化简得$10x + 15y = 90$，即$2x + 3y = 18$。
则$x + y + z = x + y + (x + 2y - 9) = 2x + 3y - 9 = 18 - 9 = 9$。

【变式 3】若 $ x + 2y + 3z = 5 $, $ 4x + 3y + 2z = 10 $, 则 $ x + y + z $ 的值为.

3

将方程$ x + 2y + 3z = 5 $与方程$4x + 3y + 2z = 10$相加，
得到：$(x+4x) + (2y+3y) + (3z+2z) = 5+10$，
化简后得到：$5x + 5y + 5z = 15$，
等式两边同时除以5，得到：$x + y + z = 3$。

1. 如图, 前两个天平已保持平衡, 现要求在第三个天平的右边只放△, 要使之保持平衡, 则应放△的数量为().


A.5 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个

B

设○=x，□=y，△=z。
由第一个天平平衡得：2x = 2z ⇒ x = z。
由第二个天平平衡得：y = x + 2z，将x=z代入得y = 3z。
第三个天平左边为2y，即2y = 2×3z = 6z，故需放6个△。

2. 某校开学典礼需要购买一等、二等、三等奖奖品若干. 若购买一等奖奖品 1 件, 二等奖奖品 4 件, 三等奖奖品 4 件, 共需 250 元; 若购买一等奖奖品 2 件, 二等奖奖品 2 件, 三等奖奖品 8 件, 共需 320 元. 那么购买一件二等奖奖品需要的钱数是().

A.20 元
B.30 元
C.40 元
D.50 元

B

设购买一等奖、二等奖、三等奖奖品的单价分别为 $x$ 元、$y$ 元、$z$ 元。
根据题意，列出方程组：
$\begin{cases}x + 4y + 4z = 250 \quad (1) \\2x + 2y + 8z = 320 \quad (2)\end{cases}$
将方程(2)化简得：
$x + y + 4z = 160 \quad (3)$
用方程(1)减去方程(3)得：
$3y = 90$
解得：
$y = 30$

3. 幻方是古老的数字问题. 将 9 个数填入幻方的空格中, 要求每一横行, 每一竖列以及两条斜对角线上的 3 个数之和相等. 如图是一个三阶幻方的一部分, 则图中右上角空格中 $ c $ 的值是().


A.$ - 2 $
B.0
C.2
D.4

D

设幻和为 $ S $。由幻方性质知，右上到左下对角线（$ c,d,e $）的和为 $ S $，即 $ c + d + e = S $。
第一列（$ a,10,e $）的和为 $ S $，得 $ a + 10 + e = S ⇒ a = S - 10 - e $。
第二列（$ b,d,-2 $）的和为 $ S $，得 $ b + d - 2 = S ⇒ b = S - d + 2 $。
第一行（$ a,b,c $）的和为 $ S $，代入 $ a,b $：
$(S - 10 - e) + (S - d + 2) + c = S$，化简得 $ 2S - d - e - 8 + c = S ⇒ S = d + e + 8 - c $。
又因 $ S = c + d + e $，故 $ c + d + e = d + e + 8 - c ⇒ 2c = 8 ⇒ c = 4 $。

4. 将两块完全相同的长方体木块先按图(1)所示的方式放置, 再按图(2)所示的方式放置, 测得的数据如图所示(单位: cm), 则桌子的高度 $ h = $ cm.

80

设长方体木块的两条不同棱长分别为$a$、$b$。由图(1)得$h + a - b = 100$，由图(2)得$h + b - a = 60$。两式相加：$(h + a - b) + (h + b - a) = 100 + 60$，化简得$2h = 160$，解得$h = 80$。

5. 已知某个三角形的周长为 18 cm, 其中两条边的长度之和等于第三条边长度的 2 倍, 而它们的差等于第三条边长度的 $ \frac{1}{3} $. 求这个三角形三边的长度.

这个三角形三边的长度分别为$5\ \mathrm{cm}$、$6\ \mathrm{cm}$、$7\ \mathrm{cm}$。

设三角形的三边长分别为$a\ \mathrm{cm}$、$b\ \mathrm{cm}$、$c\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得：
$\begin{cases}a + b + c = 18 \\a + b = 2c \\a - b = \dfrac{1}{3}c\end{cases}$
由$a + b = 2c$代入$a + b + c = 18$，得$2c + c = 18$，解得$c = 6$。
将$c = 6$代入$a + b = 2c$，得$a + b = 12$。
将$c = 6$代入$a - b = \dfrac{1}{3}c$，得$a - b = 2$。
联立$\begin{cases}a + b = 12 \\ a - b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 7 \\ b = 5\end{cases}$。
综上，三角形三边长分别为$5\ \mathrm{cm}$、$6\ \mathrm{cm}$、$7\ \mathrm{cm}$。