1. 二次函数 $y= ax^2+bx(a≠0)$ 的图象如图所示,则关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx= 0$ 的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
A
解析
解：方程 $ax^2 + bx = 0$ 可化为 $x(ax + b) = 0$，
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{b}{a}$。
由二次函数图象与 $x$ 轴交于原点和正半轴上另一点，可知方程有两个不相等的实数根。
A
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{b}{a}$。
由二次函数图象与 $x$ 轴交于原点和正半轴上另一点，可知方程有两个不相等的实数根。
A
2. 如图,这是二次函数 $y= ax^2+bx+c$ 的部分图象,由图象可知不等式 $ax^2+bx+c＜0$ 的解集为 ( )
A.$-1＜x＜5$
B.$x＞5$
C.$x＜-1$ 且 $x＞5$
D.$x＜-1$ 或 $x＞5$
A.$-1＜x＜5$
B.$x＞5$
C.$x＜-1$ 且 $x＞5$
D.$x＜-1$ 或 $x＞5$
答案
D
解析
解：由二次函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，与$x$轴的一个交点为$(5,0)$。
因为抛物线对称轴为$x=2$，设抛物线与$x$轴的另一个交点为$(x,0)$，则$\frac{x+5}{2}=2$，解得$x=-1$，即抛物线与$x$轴的另一个交点为$(-1,0)$。
由于抛物线开口向下，所以不等式$ax^2 + bx + c ＜ 0$的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 5$。
D
因为抛物线对称轴为$x=2$，设抛物线与$x$轴的另一个交点为$(x,0)$，则$\frac{x+5}{2}=2$，解得$x=-1$，即抛物线与$x$轴的另一个交点为$(-1,0)$。
由于抛物线开口向下，所以不等式$ax^2 + bx + c ＜ 0$的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 5$。
D
3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+bx+c= 0$ 的两个根分别为 $x_1= 1,x_2= 2$,那么抛物线 $y= x^2+bx+c$ 的对称轴为直线 ( )
A.$x= 1$
B.$x= 2$
C.$x= \frac{3}{2}$
D.$x= -\frac{3}{2}$
A.$x= 1$
B.$x= 2$
C.$x= \frac{3}{2}$
D.$x= -\frac{3}{2}$
答案
C
解析
∵一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$的两个根分别为$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，
∴抛物线$y = x^2 + bx + c$与$x$轴的交点坐标为$(1, 0)$，$(2, 0)$。
∵抛物线的对称轴是过抛物线与$x$轴两个交点的中点的垂直于$x$轴的直线，
∴对称轴为直线$x = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}$。
C
4. 抛物线 $y= -(x+3)(x-2)$ 与 $x$ 轴的两交点之间的距离是 ( )
A.1
B.3
C.5
D.6
A.1
B.3
C.5
D.6
答案
C
解析
令$y=0$，则$-(x+3)(x-2)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=2$。两交点之间的距离为$|x_2 - x_1| = |2 - (-3)| = 5$。
C
C
5. 如图,以 $(1,-4)$ 为顶点的二次函数 $y= ax^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴负半轴交于点 $A$,则一元二次方程 $ax^2+bx+c= 0$ 的正数解的取值范围是 ( )
A.$2＜x＜3$
B.$3＜x＜4$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
A.$2＜x＜3$
B.$3＜x＜4$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
答案
C
解析
解：设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2 - 4$。
因为函数图象过点$A(-2,0)$，代入得：
$0 = a(-2 - 1)^2 - 4$
$0 = 9a - 4$
解得$a = \frac{4}{9}$
所以二次函数解析式为$y = \frac{4}{9}(x - 1)^2 - 4$。
令$y = 0$，则$\frac{4}{9}(x - 1)^2 - 4 = 0$
$\frac{4}{9}(x - 1)^2 = 4$
$(x - 1)^2 = 9$
$x - 1 = \pm 3$
解得$x_1 = -2$，$x_2 = 4$
因为抛物线开口向上，顶点为$(1,-4)$，与$x$轴交于$(-2,0)$和$(4,0)$，所以正数解为$4$。
又由图象可知，正数解在$4$右侧附近，结合选项，$4＜x＜5$。
C
因为函数图象过点$A(-2,0)$，代入得：
$0 = a(-2 - 1)^2 - 4$
$0 = 9a - 4$
解得$a = \frac{4}{9}$
所以二次函数解析式为$y = \frac{4}{9}(x - 1)^2 - 4$。
令$y = 0$，则$\frac{4}{9}(x - 1)^2 - 4 = 0$
$\frac{4}{9}(x - 1)^2 = 4$
$(x - 1)^2 = 9$
$x - 1 = \pm 3$
解得$x_1 = -2$，$x_2 = 4$
因为抛物线开口向上，顶点为$(1,-4)$，与$x$轴交于$(-2,0)$和$(4,0)$，所以正数解为$4$。
又由图象可知，正数解在$4$右侧附近，结合选项，$4＜x＜5$。
C
6. 若抛物线 $y= x^2+2x-a$($a$ 为常数)与 $x$ 轴有且只有一个交点,则 $a$ 的值为 ______.
答案
-1
解析
抛物线$y = x^2 + 2x - a$与$x$轴有且只有一个交点，即方程$x^2 + 2x - a = 0$有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A\neq0$），判别式$\Delta = B^2 - 4AC$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^2 + 2x - a = 0$中，$A = 1$，$B = 2$，$C = -a$，则$\Delta = 2^2 - 4×1×(-a) = 4 + 4a$。
令$\Delta = 0$，即$4 + 4a = 0$，解得$a = -1$。
$-1$
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A\neq0$），判别式$\Delta = B^2 - 4AC$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^2 + 2x - a = 0$中，$A = 1$，$B = 2$，$C = -a$，则$\Delta = 2^2 - 4×1×(-a) = 4 + 4a$。
令$\Delta = 0$，即$4 + 4a = 0$，解得$a = -1$。
$-1$
7. 如图,这是函数 $y= ax^2+bx+c$ 的部分图象,则该函数图象与 $x$ 轴负半轴的交点坐标是 ______.
答案
(-1,0)
解析
解：由抛物线对称轴为直线$x=2$，与$x$轴正半轴交点为$(5,0)$，设与$x$轴负半轴交点坐标为$(x,0)$。
根据抛物线对称性，$\frac{x + 5}{2}=2$，解得$x=-1$。
$(-1,0)$
根据抛物线对称性，$\frac{x + 5}{2}=2$，解得$x=-1$。
$(-1,0)$
8. 下列表格是二次函数 $y= ax^2+bx+c(a≠0)$ 中 $x,y$ 的部分对应值,则一元二次方程 $ax^2+bx+c= 0(a≠0)$ 的一个近似解是 ______.(精确到 0.1)
| x | 6.1 | 6.2 | 6.3 | 6.4 |
| $y= ax^2+bx+c$ | -0.3 | -0.1 | 0.2 | 0.4 |
| x | 6.1 | 6.2 | 6.3 | 6.4 |
| $y= ax^2+bx+c$ | -0.3 | -0.1 | 0.2 | 0.4 |
答案
6.2 【解析】当x=6.2时,y=-0.1;当x=6.3时,y=0.2.
∵-0.1更接近于0,
∴方程的一个近似根为6.2.
∵-0.1更接近于0,
∴方程的一个近似根为6.2.
