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3. $\frac{x + 3}{5}$的值能否同时大于$2x + 1$和$1 - x$的值？请说明理由.
答案
不能。理由如下：
由题意得不等式组：
$\begin{cases}\frac{x + 3}{5} ＞ 2x + 1 \\frac{x + 3}{5} ＞ 1 - x\end{cases}$
解第一个不等式：
$\frac{x + 3}{5} ＞ 2x + 1$
$x + 3 ＞ 10x + 5$
$x - 10x ＞ 5 - 3$
$-9x ＞ 2$
$x ＜ -\frac{2}{9}$
解第二个不等式：
$\frac{x + 3}{5} ＞ 1 - x$
$x + 3 ＞ 5 - 5x$
$x + 5x ＞ 5 - 3$
$6x ＞ 2$
$x ＞ \frac{1}{3}$
不等式组的解集为$x ＜ -\frac{2}{9}$且$x ＞ \frac{1}{3}$，无公共部分，故无解。因此，$\frac{x + 3}{5}$的值不能同时大于$2x + 1$和$1 - x$的值。
由题意得不等式组：
$\begin{cases}\frac{x + 3}{5} ＞ 2x + 1 \\frac{x + 3}{5} ＞ 1 - x\end{cases}$
解第一个不等式：
$\frac{x + 3}{5} ＞ 2x + 1$
$x + 3 ＞ 10x + 5$
$x - 10x ＞ 5 - 3$
$-9x ＞ 2$
$x ＜ -\frac{2}{9}$
解第二个不等式：
$\frac{x + 3}{5} ＞ 1 - x$
$x + 3 ＞ 5 - 5x$
$x + 5x ＞ 5 - 3$
$6x ＞ 2$
$x ＞ \frac{1}{3}$
不等式组的解集为$x ＜ -\frac{2}{9}$且$x ＞ \frac{1}{3}$，无公共部分，故无解。因此，$\frac{x + 3}{5}$的值不能同时大于$2x + 1$和$1 - x$的值。
解析
【分析】
要判断$\frac{x + 3}{5}$的值能否同时大于$2x + 1$和$1 - x$的值，可将问题转化为解一元一次不等式组的问题。先根据题意列出由两个一元一次不等式组成的不等式组，再分别求解每个不等式，最后判断两个不等式的解集是否有公共部分：若有公共部分，则存在这样的$x$，代数式能同时大于另外两个式子的值；若无公共部分，则不存在这样的$x$，代数式不能同时大于另外两个式子的值。
【解析】
不能，理由如下：
根据题意可列出不等式组：
$\begin{cases}\frac{x + 3}{5} ＞ 2x + 1 \\ \frac{x + 3}{5} ＞ 1 - x\end{cases}$
1. 解第一个不等式$\frac{x + 3}{5} ＞ 2x + 1$：
两边同时乘以5去分母，得$x + 3 ＞ 10x + 5$
移项，得$x - 10x ＞ 5 - 3$
合并同类项，得$-9x ＞ 2$
系数化为1，得$x ＜ -\frac{2}{9}$
2. 解第二个不等式$\frac{x + 3}{5} ＞ 1 - x$：
两边同时乘以5去分母，得$x + 3 ＞ 5 - 5x$
移项，得$x + 5x ＞ 5 - 3$
合并同类项，得$6x ＞ 2$
系数化为1，得$x ＞ \frac{1}{3}$
因为$x ＜ -\frac{2}{9}$与$x ＞ \frac{1}{3}$没有公共部分，即该不等式组无解，所以不存在这样的$x$，使得$\frac{x + 3}{5}$的值同时大于$2x + 1$和$1 - x$的值。
【答案】
不能，理由见解析。
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式组解集的确定
【点评】
本题核心是将文字描述的数量关系转化为一元一次不等式组，通过解不等式组并判断解集是否存在来解决问题，需要熟练掌握一元一次不等式的解法以及不等式组解集的确定方法，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要判断$\frac{x + 3}{5}$的值能否同时大于$2x + 1$和$1 - x$的值，可将问题转化为解一元一次不等式组的问题。先根据题意列出由两个一元一次不等式组成的不等式组，再分别求解每个不等式，最后判断两个不等式的解集是否有公共部分：若有公共部分，则存在这样的$x$，代数式能同时大于另外两个式子的值；若无公共部分，则不存在这样的$x$，代数式不能同时大于另外两个式子的值。
【解析】
不能，理由如下：
根据题意可列出不等式组：
$\begin{cases}\frac{x + 3}{5} ＞ 2x + 1 \\ \frac{x + 3}{5} ＞ 1 - x\end{cases}$
1. 解第一个不等式$\frac{x + 3}{5} ＞ 2x + 1$：
两边同时乘以5去分母，得$x + 3 ＞ 10x + 5$
移项，得$x - 10x ＞ 5 - 3$
合并同类项，得$-9x ＞ 2$
系数化为1，得$x ＜ -\frac{2}{9}$
2. 解第二个不等式$\frac{x + 3}{5} ＞ 1 - x$：
两边同时乘以5去分母，得$x + 3 ＞ 5 - 5x$
移项，得$x + 5x ＞ 5 - 3$
合并同类项，得$6x ＞ 2$
系数化为1，得$x ＞ \frac{1}{3}$
因为$x ＜ -\frac{2}{9}$与$x ＞ \frac{1}{3}$没有公共部分，即该不等式组无解，所以不存在这样的$x$，使得$\frac{x + 3}{5}$的值同时大于$2x + 1$和$1 - x$的值。
【答案】
不能，理由见解析。
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式组解集的确定
【点评】
本题核心是将文字描述的数量关系转化为一元一次不等式组，通过解不等式组并判断解集是否存在来解决问题，需要熟练掌握一元一次不等式的解法以及不等式组解集的确定方法，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
4. 三个数$3$，$1 - a$，$1 - 2a$在数轴上从左到右依次排列，你能确定$a$的取值范围吗？
答案
由题意得：$3 ＜ 1 - a ＜ 1 - 2a$
1. 解不等式$3 ＜ 1 - a$：
$3 - 1 ＜ -a$
$2 ＜ -a$
$a ＜ -2$
2. 解不等式$1 - a ＜ 1 - 2a$：
$-a + 2a ＜ 1 - 1$
$a ＜ 0$
取两个不等式解集的公共部分，得$a ＜ -2$
结论：$a$的取值范围是$a ＜ -2$
1. 解不等式$3 ＜ 1 - a$：
$3 - 1 ＜ -a$
$2 ＜ -a$
$a ＜ -2$
2. 解不等式$1 - a ＜ 1 - 2a$：
$-a + 2a ＜ 1 - 1$
$a ＜ 0$
取两个不等式解集的公共部分，得$a ＜ -2$
结论：$a$的取值范围是$a ＜ -2$
解析
【分析】
首先，数轴上的数从左到右依次增大，因此三个数$3$，$1 - a$，$1 - 2a$满足$3 ＜ 1 - a ＜ 1 - 2a$。我们可以将这个连不等式拆分成两个一元一次不等式：$3 ＜ 1 - a$和$1 - a ＜ 1 - 2a$，分别求解这两个不等式后，取它们解集的公共部分，即可确定$a$的取值范围。
【解析】
根据题意，三个数在数轴上从左到右排列，可得：
$3 ＜ 1 - a ＜ 1 - 2a$
1. 解不等式$3 ＜ 1 - a$：
移项得：$3 - 1 ＜ -a$
计算得：$2 ＜ -a$
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得：$a ＜ -2$
2. 解不等式$1 - a ＜ 1 - 2a$：
移项得：$-a + 2a ＜ 1 - 1$
合并同类项得：$a ＜ 0$
取两个不等式解集的公共部分，因为$a ＜ -2$与$a ＜ 0$的公共部分是$a ＜ -2$，所以$a$的取值范围是$a ＜ -2$。
【答案】
$a$的取值范围是$\boldsymbol{a ＜ -2}$
【知识点】
一元一次不等式组解法、数轴上数的大小关系
【点评】
本题主要考查数轴上数的大小关系与一元一次不等式组的综合应用，关键是根据数轴上数的排列顺序正确列出连不等式，再通过拆分不等式分别求解，最后取两个解集的公共部分得到结果，注意解不等式时不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.6
首先，数轴上的数从左到右依次增大，因此三个数$3$，$1 - a$，$1 - 2a$满足$3 ＜ 1 - a ＜ 1 - 2a$。我们可以将这个连不等式拆分成两个一元一次不等式：$3 ＜ 1 - a$和$1 - a ＜ 1 - 2a$，分别求解这两个不等式后，取它们解集的公共部分，即可确定$a$的取值范围。
【解析】
根据题意，三个数在数轴上从左到右排列，可得：
$3 ＜ 1 - a ＜ 1 - 2a$
1. 解不等式$3 ＜ 1 - a$：
移项得：$3 - 1 ＜ -a$
计算得：$2 ＜ -a$
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得：$a ＜ -2$
2. 解不等式$1 - a ＜ 1 - 2a$：
移项得：$-a + 2a ＜ 1 - 1$
合并同类项得：$a ＜ 0$
取两个不等式解集的公共部分，因为$a ＜ -2$与$a ＜ 0$的公共部分是$a ＜ -2$，所以$a$的取值范围是$a ＜ -2$。
【答案】
$a$的取值范围是$\boldsymbol{a ＜ -2}$
【知识点】
一元一次不等式组解法、数轴上数的大小关系
【点评】
本题主要考查数轴上数的大小关系与一元一次不等式组的综合应用，关键是根据数轴上数的排列顺序正确列出连不等式，再通过拆分不等式分别求解，最后取两个解集的公共部分得到结果，注意解不等式时不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.6
5. (1) 尝试利用数轴找出不等式组$\begin{cases}x ＞ -1, \\x ＞ 0, \\x ＜ 3\end{cases}$的解集；
(2) 解不等式组$\begin{cases}5x - 1 ＞ 3(x + 1), \frac{x}{2} ＞ 1 + \frac{x}{3}, \\x - 1 ＜ 3x + 1.\end{cases}$
(2) 解不等式组$\begin{cases}5x - 1 ＞ 3(x + 1), \frac{x}{2} ＞ 1 + \frac{x}{3}, \\x - 1 ＜ 3x + 1.\end{cases}$
答案
(1) 解：在数轴上分别表示各不等式的解集：
$x ＞ -1$ 表示数轴上 $-1$ 右侧的部分；
$x ＞ 0$ 表示数轴上 $0$ 右侧的部分；
$x ＜ 3$ 表示数轴上 $3$ 左侧的部分。
它们的公共部分为 $0 ＜ x ＜ 3$，所以不等式组的解集为 $0 ＜ x ＜ 3$。
(2) 解：解第一个不等式 $5x - 1 ＞ 3(x + 1)$：
$5x - 1 ＞ 3x + 3$
$5x - 3x ＞ 3 + 1$
$2x ＞ 4$
$x ＞ 2$
解第二个不等式 $\frac{x}{2} ＞ 1 + \frac{x}{3}$：
两边同乘 6 得：$3x ＞ 6 + 2x$
$3x - 2x ＞ 6$
$x ＞ 6$
解第三个不等式 $x - 1 ＜ 3x + 1$：
$x - 3x ＜ 1 + 1$
$-2x ＜ 2$
$x ＞ -1$
综合三个不等式的解集 $x ＞ 2$，$x ＞ 6$，$x ＞ -1$，公共部分为 $x ＞ 6$，所以不等式组的解集为 $x ＞ 6$。
$x ＞ -1$ 表示数轴上 $-1$ 右侧的部分；
$x ＞ 0$ 表示数轴上 $0$ 右侧的部分；
$x ＜ 3$ 表示数轴上 $3$ 左侧的部分。
它们的公共部分为 $0 ＜ x ＜ 3$，所以不等式组的解集为 $0 ＜ x ＜ 3$。
(2) 解：解第一个不等式 $5x - 1 ＞ 3(x + 1)$：
$5x - 1 ＞ 3x + 3$
$5x - 3x ＞ 3 + 1$
$2x ＞ 4$
$x ＞ 2$
解第二个不等式 $\frac{x}{2} ＞ 1 + \frac{x}{3}$：
两边同乘 6 得：$3x ＞ 6 + 2x$
$3x - 2x ＞ 6$
$x ＞ 6$
解第三个不等式 $x - 1 ＜ 3x + 1$：
$x - 3x ＜ 1 + 1$
$-2x ＜ 2$
$x ＞ -1$
综合三个不等式的解集 $x ＞ 2$，$x ＞ 6$，$x ＞ -1$，公共部分为 $x ＞ 6$，所以不等式组的解集为 $x ＞ 6$。
解析
【分析】
对于一元一次不等式组的解集求解，核心是先确定每个不等式的解集，再找出所有解集的公共部分。
(1) 可先在数轴上分别画出每个不等式的解集区域，数轴上同时满足三个不等式的重叠部分就是不等式组的解集；
(2) 需先分别解出每个一元一次不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，确定三个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
【解析】
(1) 解：在数轴上分别表示各不等式的解集：
$x ＞ -1$ 表示数轴上 $-1$ 右侧的部分；
$x ＞ 0$ 表示数轴上 $0$ 右侧的部分；
$x ＜ 3$ 表示数轴上 $3$ 左侧的部分。
观察数轴可知，三个解集的公共部分为 $0 ＜ x ＜ 3$，因此该不等式组的解集为 $0 ＜ x ＜ 3$。
(2) 解：分别解不等式组中的每个不等式：
① 解不等式 $5x - 1 ＞ 3(x + 1)$：
去括号得：$5x - 1 ＞ 3x + 3$
移项得：$5x - 3x ＞ 3 + 1$
合并同类项得：$2x ＞ 4$
系数化为1得：$x ＞ 2$
② 解不等式 $\frac{x}{2} ＞ 1 + \frac{x}{3}$：
两边同时乘6（分母2和3的最小公倍数）去分母得：$3x ＞ 6 + 2x$
移项得：$3x - 2x ＞ 6$
合并同类项得：$x ＞ 6$
③ 解不等式 $x - 1 ＜ 3x + 1$：
移项得：$x - 3x ＜ 1 + 1$
合并同类项得：$-2x ＜ 2$
系数化为1得：$x ＞ -1$
综合三个不等式的解集 $x ＞ 2$，$x ＞ 6$，$x ＞ -1$，根据“同大取大”的原则，公共部分为 $x ＞ 6$，因此该不等式组的解集为 $x ＞ 6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0 ＜ x ＜ 3}$；
(2) $\boldsymbol{x ＞ 6}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组解集确定
2. 解一元一次不等式
3. 数轴表示不等式解集
【点评】
解一元一次不等式组的关键是先准确求解每个一元一次不等式，再通过数轴或口诀确定公共解集。在解单个不等式时，需注意去分母时两边同乘正数不等号方向不变，移项要变号，系数化为1时若系数为负数，不等号方向需改变。利用数轴表示解集能更直观地找到公共部分，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
对于一元一次不等式组的解集求解，核心是先确定每个不等式的解集，再找出所有解集的公共部分。
(1) 可先在数轴上分别画出每个不等式的解集区域，数轴上同时满足三个不等式的重叠部分就是不等式组的解集；
(2) 需先分别解出每个一元一次不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，确定三个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
【解析】
(1) 解：在数轴上分别表示各不等式的解集：
$x ＞ -1$ 表示数轴上 $-1$ 右侧的部分；
$x ＞ 0$ 表示数轴上 $0$ 右侧的部分；
$x ＜ 3$ 表示数轴上 $3$ 左侧的部分。
观察数轴可知，三个解集的公共部分为 $0 ＜ x ＜ 3$，因此该不等式组的解集为 $0 ＜ x ＜ 3$。
(2) 解：分别解不等式组中的每个不等式：
① 解不等式 $5x - 1 ＞ 3(x + 1)$：
去括号得：$5x - 1 ＞ 3x + 3$
移项得：$5x - 3x ＞ 3 + 1$
合并同类项得：$2x ＞ 4$
系数化为1得：$x ＞ 2$
② 解不等式 $\frac{x}{2} ＞ 1 + \frac{x}{3}$：
两边同时乘6（分母2和3的最小公倍数）去分母得：$3x ＞ 6 + 2x$
移项得：$3x - 2x ＞ 6$
合并同类项得：$x ＞ 6$
③ 解不等式 $x - 1 ＜ 3x + 1$：
移项得：$x - 3x ＜ 1 + 1$
合并同类项得：$-2x ＜ 2$
系数化为1得：$x ＞ -1$
综合三个不等式的解集 $x ＞ 2$，$x ＞ 6$，$x ＞ -1$，根据“同大取大”的原则，公共部分为 $x ＞ 6$，因此该不等式组的解集为 $x ＞ 6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0 ＜ x ＜ 3}$；
(2) $\boldsymbol{x ＞ 6}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组解集确定
2. 解一元一次不等式
3. 数轴表示不等式解集
【点评】
解一元一次不等式组的关键是先准确求解每个一元一次不等式，再通过数轴或口诀确定公共解集。在解单个不等式时，需注意去分母时两边同乘正数不等号方向不变，移项要变号，系数化为1时若系数为负数，不等号方向需改变。利用数轴表示解集能更直观地找到公共部分，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
