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2. 写出使下列式子有意义的 $ x $ 的取值范围.
(1) $ \sqrt{x - 5} $；
(2) $ \sqrt{2x - 1} $；
(3) $ \sqrt{1 + 3x} $；
(4) $ \sqrt{x^{2} + 1} $.
(1) $ \sqrt{x - 5} $；
(2) $ \sqrt{2x - 1} $；
(3) $ \sqrt{1 + 3x} $；
(4) $ \sqrt{x^{2} + 1} $.
答案
(1)x≥5 (2)$x≥\frac{1}{2}$ (3)$x≥-\frac{1}{3}$ (4)x为任意实数
解析
【解析】
要使二次根式有意义，需保证被开方数为非负数，据此列不等式求解：
(1) 对于$\sqrt{x - 5}$，有$x - 5≥0$，解得$x≥5$；
(2) 对于$\sqrt{2x - 1}$，有$2x - 1≥0$，解得$x≥\frac{1}{2}$；
(3) 对于$\sqrt{1 + 3x}$，有$1 + 3x≥0$，解得$x≥-\frac{1}{3}$；
(4) 对于$\sqrt{x^{2} + 1}$，因为$x^2≥0$，所以$x^2 + 1≥1＞0$，无论$x$取何实数，被开方数均为正数，故$x$为任意实数。
【答案】
(1)$x≥5$；(2)$x≥\frac{1}{2}$；(3)$x≥-\frac{1}{3}$；(4)$x$为任意实数
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题关键是根据被开方数非负列出不等式求解，需注意分析不同式子中被开方数的特点，如第(4)小题利用平方数的非负性判断。
【难度系数】
0.8
要使二次根式有意义，需保证被开方数为非负数，据此列不等式求解：
(1) 对于$\sqrt{x - 5}$，有$x - 5≥0$，解得$x≥5$；
(2) 对于$\sqrt{2x - 1}$，有$2x - 1≥0$，解得$x≥\frac{1}{2}$；
(3) 对于$\sqrt{1 + 3x}$，有$1 + 3x≥0$，解得$x≥-\frac{1}{3}$；
(4) 对于$\sqrt{x^{2} + 1}$，因为$x^2≥0$，所以$x^2 + 1≥1＞0$，无论$x$取何实数，被开方数均为正数，故$x$为任意实数。
【答案】
(1)$x≥5$；(2)$x≥\frac{1}{2}$；(3)$x≥-\frac{1}{3}$；(4)$x$为任意实数
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题关键是根据被开方数非负列出不等式求解，需注意分析不同式子中被开方数的特点，如第(4)小题利用平方数的非负性判断。
【难度系数】
0.8
3. 计算：
(1) $ (\sqrt{5})^{2} $；
(2) $ ( \sqrt{\frac{1}{3}} )^{2} $；
(3) $ (\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{11})^{2} $；
(4) $ (2\sqrt{2a})^{2} $.
(1) $ (\sqrt{5})^{2} $；
(2) $ ( \sqrt{\frac{1}{3}} )^{2} $；
(3) $ (\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{11})^{2} $；
(4) $ (2\sqrt{2a})^{2} $.
答案
3. (1)5 (2)$\frac{1}{3}$ (3)14 (4)8a
解析
【解析】
本题可根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）及积的乘方法则进行计算：
(1) 由二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），得$(\sqrt{5})^2=5$；
(2) 同理，$(\sqrt{\frac{1}{3}})^2=\frac{1}{3}$；
(3) 先分别计算各项：$(\sqrt{3})^2=3$，$(\sqrt{11})^2=11$，再求和：$3+11=14$；
(4) 根据积的乘方法则$(ab)^2=a^2b^2$及二次根式性质，得$(2\sqrt{2a})^2=2^2×(\sqrt{2a})^2=4×2a=8a$（$a≥0$）。
【答案】
(1)$5$；(2)$\frac{1}{3}$；(3)$14$；(4)$8a$
【知识点】
二次根式的性质、积的乘方法则
【点评】
本题为二次根式基础运算题，重点考查二次根式性质的直接应用及积的乘方法则的结合运用，可帮助学生巩固二次根式基本运算能力。
【难度系数】
0.9
本题可根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）及积的乘方法则进行计算：
(1) 由二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），得$(\sqrt{5})^2=5$；
(2) 同理，$(\sqrt{\frac{1}{3}})^2=\frac{1}{3}$；
(3) 先分别计算各项：$(\sqrt{3})^2=3$，$(\sqrt{11})^2=11$，再求和：$3+11=14$；
(4) 根据积的乘方法则$(ab)^2=a^2b^2$及二次根式性质，得$(2\sqrt{2a})^2=2^2×(\sqrt{2a})^2=4×2a=8a$（$a≥0$）。
【答案】
(1)$5$；(2)$\frac{1}{3}$；(3)$14$；(4)$8a$
【知识点】
二次根式的性质、积的乘方法则
【点评】
本题为二次根式基础运算题，重点考查二次根式性质的直接应用及积的乘方法则的结合运用，可帮助学生巩固二次根式基本运算能力。
【难度系数】
0.9
1. 已知 $ \sqrt{a - 2} + |b + 1| = 0 $，$ (a + b)^{2026} $ 的值为
1
.答案
1
解析
【解析】
因为算术平方根和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0。
所以可得：
$\sqrt{a - 2}=0$，解得$a=2$；
$|b + 1|=0$，解得$b=-1$。
将$a=2$，$b=-1$代入$(a + b)^{2026}$，得：
$(2-1)^{2026}=1^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质、有理数的乘方
【点评】
本题考查非负数的性质与有理数的乘方运算，利用非负数的性质求出a、b的值是解题关键，题目基础，易于掌握。
【难度系数】
0.8
因为算术平方根和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0。
所以可得：
$\sqrt{a - 2}=0$，解得$a=2$；
$|b + 1|=0$，解得$b=-1$。
将$a=2$，$b=-1$代入$(a + b)^{2026}$，得：
$(2-1)^{2026}=1^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质、有理数的乘方
【点评】
本题考查非负数的性质与有理数的乘方运算，利用非负数的性质求出a、b的值是解题关键，题目基础，易于掌握。
【难度系数】
0.8
2. 计算：
(1) $ ( -\sqrt{\frac{1}{3}} )^{2} $；
(2) $ \frac{1}{2}(\sqrt{6})^{2} $；
(3) $ (3\sqrt{x})^{2} + (\sqrt{x})^{2} $.
(1) $ ( -\sqrt{\frac{1}{3}} )^{2} $；
(2) $ \frac{1}{2}(\sqrt{6})^{2} $；
(3) $ (3\sqrt{x})^{2} + (\sqrt{x})^{2} $.
答案
$(1) 35 (2)2m (3)16x^{2}y$
解析
1
3. 当 $ x $ 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $ \frac{1}{\sqrt{x - 2}} $；
(2) $ \sqrt{-x^{2}} $；
(3) $ \sqrt{x} + \sqrt{1 - x} $.
(1) $ \frac{1}{\sqrt{x - 2}} $；
(2) $ \sqrt{-x^{2}} $；
(3) $ \sqrt{x} + \sqrt{1 - x} $.
答案
$(1)x\geq0$且$x\neq1 (2)x = -2 (3)-1\leq x\leq2$
解析
1
4. 在实数范围内将下列各式分解因式.
(1) $ a^{2} - 3 $；
(2) $ 4x^{2} - 7 $.
(1) $ a^{2} - 3 $；
(2) $ 4x^{2} - 7 $.
答案
4. (1)$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$ (2)$(2x+\sqrt{7})(2x-\sqrt{7})$
解析
【解析】
(1) 根据平方差公式 $a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将3转化为$(\sqrt{3})^2$，则：
$a^2 - 3 = a^2 - (\sqrt{3})^2 = (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$；
(2) 同理，$4x^2=(2x)^2$，将7转化为$(\sqrt{7})^2$，则：
$4x^2 - 7 = (2x)^2 - (\sqrt{7})^2 = (2x+\sqrt{7})(2x-\sqrt{7})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})}$；(2) $\boldsymbol{(2x+\sqrt{7})(2x-\sqrt{7})}$
【知识点】
平方差公式，实数范围内因式分解
【点评】
本题考查平方差公式在实数范围内的因式分解应用，关键是将常数项转化为实数的平方形式，帮助区分实数与有理数范围内因式分解的差异，巩固因式分解基础。
【难度系数】
0.8
(1) 根据平方差公式 $a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将3转化为$(\sqrt{3})^2$，则：
$a^2 - 3 = a^2 - (\sqrt{3})^2 = (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$；
(2) 同理，$4x^2=(2x)^2$，将7转化为$(\sqrt{7})^2$，则：
$4x^2 - 7 = (2x)^2 - (\sqrt{7})^2 = (2x+\sqrt{7})(2x-\sqrt{7})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})}$；(2) $\boldsymbol{(2x+\sqrt{7})(2x-\sqrt{7})}$
【知识点】
平方差公式，实数范围内因式分解
【点评】
本题考查平方差公式在实数范围内的因式分解应用，关键是将常数项转化为实数的平方形式，帮助区分实数与有理数范围内因式分解的差异，巩固因式分解基础。
【难度系数】
0.8
