4. 计算:
(1) $2\sqrt{18}-\sqrt{50}+\dfrac{1}{3}\sqrt{45}$; (2) $3\sqrt{20}+(9\sqrt{5}-2\sqrt{45})$;
(3) $a\sqrt{\dfrac{3}{a}}+\sqrt{9a}-\dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{3}}(a＞0)$; (4) $(2\sqrt{3}-5\sqrt{8})-(\sqrt{75}-\sqrt{18})$.

(1)
首先化简各根式：
$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 × 2} = 2 × 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$；
$\sqrt{50} =\sqrt{25 × 2} = 5\sqrt{2}$；
$\frac{1}{3}\sqrt{45} = \frac{1}{3}\sqrt{9 × 5} = \frac{1}{3} × 3\sqrt{5} = \sqrt{5}$。
然后合并同类项：
$2\sqrt{18} - \sqrt{50} + \frac{1}{3}\sqrt{45} = 6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{2} + \sqrt{5}$。
(2)
首先化简各根式：
$3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 × 5} = 3 × 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$；
$9\sqrt{5}$ 保持不变；
$2\sqrt{45} = 2\sqrt{9 × 5} = 2 × 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$。
然后合并同类项：
$3\sqrt{20} + (9\sqrt{5} - 2\sqrt{45}) = 6\sqrt{5} + 9\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$。
(3)
首先化简各根式：
$a\sqrt{\frac{3}{a}} = a × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}} = a × \frac{\sqrt{3} × \sqrt{a}}{a} =\sqrt{3a}$；
$\sqrt{9a} = 3\sqrt{a}$；
$\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = 3 × \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = 3 × \frac{\sqrt{3a}}{3} =\sqrt{3a}$。
然后合并同类项：
$a\sqrt{\frac{3}{a}} + \sqrt{9a} - \frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3a} + 3\sqrt{a} - \sqrt{3a} = 3\sqrt{a}$。
(4)
首先化简各根式：
$2\sqrt{3}$ 保持不变；
$5\sqrt{8} = 5\sqrt{4 × 2} = 5 × 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$；
$\sqrt{75} = \sqrt{25 × 3} = 5\sqrt{3}$；
$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$。
然后合并同类项：
$(2\sqrt{3} - 5\sqrt{8}) - (\sqrt{75} - \sqrt{18}) = 2\sqrt{3} - 10\sqrt{2} - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = -3\sqrt{3} - 7\sqrt{2}$。

5. 已知矩形的长为 $\dfrac{1}{2}\sqrt{32}$, 宽为 $\dfrac{1}{3}\sqrt{18}$, 求矩形的周长和对角线的长.

周长：
$\begin{aligned}\mathrm{长}&=\frac{1}{2}\sqrt{32}=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\\\mathrm{宽}&=\frac{1}{3}\sqrt{18}=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{2}\\\mathrm{周长}&=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})=2×(2\sqrt{2}+\sqrt{2})=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\end{aligned}$
对角线：
$\begin{aligned}\mathrm{对角线}&=\sqrt{(\mathrm{长})^2+(\mathrm{宽})^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}\end{aligned}$
结论：矩形的周长为 $6\sqrt{2}$，对角线长为 $\sqrt{10}$。

6. 要焊接一个如图所示的钢架, 大约需要多少钢材(精确到 $0.1\mathrm{m}$)?

1. BC=BD+DC=4+1=5(m)。
2. 在Rt△ABD中，AB=√(BD²+AD²)=√(4²+2²)=√20=2√5(m)。
3. 在Rt△ADC中，AC=√(DC²+AD²)=√(1²+2²)=√5(m)。
4. 所需钢材长度=AB+AC+BC=2√5+√5+5=3√5+5≈3×2.236+5≈11.7(m)。
11.7m

7. 判断下列各式是否正确, 如果不正确, 请举出一个反例来说明.
(1) $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a + b}(a＞0,b＞0)$;
(2) $\dfrac{1}{\sqrt{a}}·\dfrac{1}{\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{ab}}(a＞0,b＞0)$;
(3) $\sqrt{a^2 - b^2}=a - b(a＞b＞0)$.

(1) 不正确。
反例：当 $a = 1$，$b = 1$ 时，
$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$，
$\sqrt{a + b} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ≠ 2$，
所以，$\sqrt{a} + \sqrt{b} ≠ \sqrt{a + b}$，故不正确。
(2) 正确。
根据二次根式的乘法法则，有：
$\frac{1}{\sqrt{a}} · \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{a} · \sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{ab}} \quad (a ＞ 0, b ＞ 0)$，
所以该式是正确的。
(3) 不正确。
反例：设$a = 2$，$b = 1$，则：
$\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx1.732$，
$a - b = 2 - 1 = 1≠1.732$，
所以，$\sqrt{a^2 - b^2} ≠ a - b$，故不正确。