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8.如图,一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(3,6)$、$B(0,3)$两点,交$x$轴于点$C$,则$△ AOC$的面积为
9
。答案
8.9
三、解答题
9.如图,在矩形ABCD中,点E,F在边BC上,连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.
(1)求证:△ABE≅△DCF；
(2)当AB=12,DF=13时,求BE的长.
9.如图,在矩形ABCD中,点E,F在边BC上,连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.
(1)求证:△ABE≅△DCF；
(2)当AB=12,DF=13时,求BE的长.
答案
9.(1)证明:在矩形ABCD中,AB=CD,∠B=∠C=90°.在△ABE和△DCF中,$\begin{cases}∠BAE=∠CDF,\\AB=CD,\\∠B=∠C=90°,\end{cases}$
∴△ABE≅△DCF(ASA).
(2)解:由(1)知:△ABE≅△DCF,
∴AE=DF=13.
∵AB=12,
∴$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=5$.
∴△ABE≅△DCF(ASA).
(2)解:由(1)知:△ABE≅△DCF,
∴AE=DF=13.
∵AB=12,
∴$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=5$.
10.如图，直线$ l_1:y_1=-\dfrac{1}{2}x $与直线$ l_2:y_2=x+b $交于点$ A(m,1) $，直线$ l_2 $与$ y $轴交于点$ B $。
(1)求$ m,b $的值，并计算$ △ AOB $的面积；
(2)在直线$ l_2 $上，是否存在点$ P $，使得$ △ POB $的面积是$ △ AOB $的面积的一半，若存在，求出点$ P $的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求$ m,b $的值，并计算$ △ AOB $的面积；
(2)在直线$ l_2 $上，是否存在点$ P $，使得$ △ POB $的面积是$ △ AOB $的面积的一半，若存在，求出点$ P $的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
10.解:(1)把$ A(m,1) $代入$ y_1=-\dfrac{1}{2}x $,得$ m=-2 $.
∴点A的坐标为$ (-2,1) $.把$ A(-2,1) $代入$ y_2=x+b $,得$ b=3 $.
∴$ y_2=x+3 $,
∴B(0,3),
∴$ S_{△AOB}=\dfrac{1}{2}×3×2=3 $.
(2)存在.理由如下:设点P的坐标为$ (x,x+3) $.
∵$ S_{△POB}=\dfrac{1}{2}S_{△AOB} $,
∴$ \dfrac{1}{2}×|x|×3=\dfrac{1}{2}×3 $.解得x=1或x=-1.当x=1时,y=4;当x=-1时,y=2.
∴点P的坐标为(1,4)或(-1,2).
∴点A的坐标为$ (-2,1) $.把$ A(-2,1) $代入$ y_2=x+b $,得$ b=3 $.
∴$ y_2=x+3 $,
∴B(0,3),
∴$ S_{△AOB}=\dfrac{1}{2}×3×2=3 $.
(2)存在.理由如下:设点P的坐标为$ (x,x+3) $.
∵$ S_{△POB}=\dfrac{1}{2}S_{△AOB} $,
∴$ \dfrac{1}{2}×|x|×3=\dfrac{1}{2}×3 $.解得x=1或x=-1.当x=1时,y=4;当x=-1时,y=2.
∴点P的坐标为(1,4)或(-1,2).
