10 整体思想 若$a-b=3$，$ab=-4$，则$(a+2)(b-2)$的值为.

10. $-14$

【分析】本题需运用整体思想求解，先将所求代数式展开化简，整理为含已知条件$a-b$和$ab$的形式，再整体代入已知值计算即可。
【解析】先展开并化简代数式：
$\begin{aligned}(a+2)(b-2)&=ab -2a +2b -4\\&=ab -2(a - b) -4\end{aligned}$
将$a-b=3$，$ab=-4$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-4 -2×3 -4\\&=-4 -6 -4\\&=-14\end{aligned}$
【答案】$-14$
【知识点】整式的乘法、整体思想求代数式的值
【点评】本题通过整体思想简化计算，避免了求解$a$、$b$的具体值，是整式求值的常用技巧，体现了代数运算的灵活性。
【难度系数】0.6

11 一个长方形的长为$2x\ \mathrm{cm}$，宽比长少$4\ \mathrm{cm}$。若将该长方形的长和宽都增加$3\ \mathrm{cm}$，则面积增加了。若$x=2$，则增加的面积为。

11. $(12x-3)\mathrm{cm}^2$，$21\ \mathrm{cm}^2$

【分析】
要解决这个问题，需先根据题意求出长方形原来的宽，再计算长、宽增加后的新长和新宽，通过“新面积 - 原面积”得到增加的面积，最后代入$x$的值计算具体结果。具体步骤：①先求原长方形的宽；②求长和宽增加后的新长、新宽；③分别计算原面积和新面积；④作差得到增加的面积表达式；⑤代入$x=2$求具体数值。
【解析】
1. 原长方形的宽：已知长为$2x\ \mathrm{cm}$，宽比长少$4\ \mathrm{cm}$，故宽为$(2x - 4)\ \mathrm{cm}$。
2. 长、宽增加后的新尺寸：新长为$(2x + 3)\ \mathrm{cm}$，新宽为$(2x - 4) + 3 = (2x - 1)\ \mathrm{cm}$。
3. 计算原面积和新面积：
原面积：$S_{原} = 长×宽 = 2x(2x - 4) = 4x^2 - 8x\ (\mathrm{cm}^2)$
新面积：$S_{新} = (2x + 3)(2x - 1) = 4x^2 - 2x + 6x - 3 = 4x^2 + 4x - 3\ (\mathrm{cm}^2)$
4. 计算增加的面积：$\Delta S = S_{新} - S_{原} = (4x^2 + 4x - 3) - (4x^2 - 8x) = 12x - 3\ (\mathrm{cm}^2)$
5. 代入$x=2$：$\Delta S = 12×2 - 3 = 21\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$(12x - 3)\mathrm{cm}^2$，$21\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
整式的混合运算、长方形面积公式
【点评】
本题是整式运算的基础应用题，结合长方形面积公式考查整式的乘法与加减，步骤明确，计算量适中，只要理清各量之间的关系，细心运算即可正确解答，属于代数应用的常规题型。
【难度系数】
0.6

12 教材 P107 练习第3题变式 先化简,再求值:$(x-2y)(x^{2}+2xy+4y^{2})-(x+2y)(x^{2}-4y^{2})$,其中
$x=4,y=\dfrac{1}{2}.$

12. 原式$=x^3+2x^2y+4xy^2-2x^2y-4xy^2-8y^3-x^3+4xy^2-2x^2y+8y^3=4xy^2-2x^2y$. 当 $x=4,y=\dfrac{1}{2}$ 时,原式$=4×4×(\dfrac{1}{2})^2-2×4^2×\dfrac{1}{2}=4-16=-12$

【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用多项式乘多项式的运算法则分别展开两个乘积项，再通过合并同类项将原式化简为最简形式，最后把给定的x、y的值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
先展开两个乘积项：
1. 展开$(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$：
$=x^3+2x^2y+4xy^2-2x^2y-4xy^2-8y^3$
2. 展开$(x+2y)(x^2-4y^2)$：
$=x^3-4xy^2+2x^2y-8y^3$
再计算原式并合并同类项：
原式$=(x^3+2x^2y+4xy^2-2x^2y-4xy^2-8y^3)-(x^3-4xy^2+2x^2y-8y^3)$
$=x^3+2x^2y+4xy^2-2x^2y-4xy^2-8y^3-x^3+4xy^2-2x^2y+8y^3$
$=4xy^2-2x^2y$
代入$x=4,y=\dfrac{1}{2}$：
原式$=4×4×(\dfrac{1}{2})^2 -2×4^2×\dfrac{1}{2}$
$=4×4×\dfrac{1}{4} -2×16×\dfrac{1}{2}$
$=4 -16$
$=-12$
【答案】
$-12$
【知识点】
整式的乘法、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题考查整式化简求值的基础运算，核心是掌握多项式乘多项式法则和合并同类项方法，计算时需注意符号和同类项的准确合并，整体难度不大，是整式运算的典型基础题。
【难度系数】
0.6

13 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题: $(2x+a)(3x+b)$. 甲由于把第一个多项式中的“$+a$”看成了“$-a$”, 得到的结果为 $6x^2+11x-10$; 乙由于漏抄了第二个多项式中 $x$ 的系数, 得到的结果为$2x^2-9x+10$.
(1) 求正确的 $a,b$ 的值;
(2) 计算这道整式乘法题的正确结果.

13. (1) 由题意,得$(2x-a)(3x+b)=6x^2+2bx-3ax-ab=6x^2+(2b-3a)x-ab=6x^2+11x-10$,$(2x+a)(x+b)=2x^2+2bx+ax+ab=2x^2+(2b+a)x+ab=2x^2-9x+10$.
$\therefore \begin{cases}2b-3a=11,\\2b+a=-9,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-5,\\b=-2\end{cases}$
(2) $(2x-5)(3x-2)=6x^2-4x-15x+10=6x^2-19x+10$

【分析】
要解决本题，需根据甲、乙的错误计算结果，利用多项式乘多项式法则展开式子，通过对应系数相等建立关于a、b的方程组，求出a、b后代入正确的整式乘法式计算结果。首先，甲看错了第一个多项式中的“+a”为“-a”，其计算结果对应展开式的系数关系；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，其计算结果也对应展开式的系数关系，联立两个关系即可解出a、b，再计算正确结果。
【解析】
(1) 根据题意：
甲的计算：$(2x -a)(3x +b)=6x^2 +2bx -3ax -ab=6x^2+(2b-3a)x -ab$，已知结果为$6x^2+11x-10$，因此对应系数相等得：$2b-3a=11$ ①；
乙的计算：漏抄第二个多项式x的系数，即计算$(2x+a)(x +b)=2x^2+2bx+ax+ab=2x^2+(2b+a)x +ab$，已知结果为$2x^2-9x+10$，对应系数相等得：$2b+a=-9$ ②；
联立①②组成方程组：$\begin{cases}2b-3a=11 \\2b+a=-9 \end{cases}$，用②-①消去2b得：$4a=-20$，解得$a=-5$；将$a=-5$代入②得：$2b-5=-9$，解得$b=-2$；
(2) 正确的整式乘法为$(2x+a)(3x+b)$，代入$a=-5$，$b=-2$得：
$(2x-5)(3x-2)=6x^2-4x-15x+10=6x^2-19x+10$；
【答案】
(1) $a=-5$，$b=-2$；(2) $6x^2-19x+10$
【知识点】
多项式乘多项式、二元一次方程组的应用
【点评】
本题通过整式乘法的错误结果考查多项式乘多项式法则，需准确展开式子并对应系数建立方程组，是整式乘法章节的典型题型，侧重考查学生的运算与逻辑分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.6

14 已知将$(x^{3}+mx+n)(x^{2}-3x+4)$展开的结果中不含$x^{3}$和$x^{2}$的项,求$m,n$的值.

14. 根据题意,得$(x^3+mx+n)(x^2-3x+4)=x^5-3x^4+4x^3+mx^3-3mx^2+4mx+nx^2-3nx+4n=x^5-3x^4+(4+m)· x^3+(n-3m)x^2+(4m-3n)x+4n$. $\because$ 展开的结果中不含 $x^3$ 和 $x^2$ 的项,$\therefore \begin{cases}4+m=0,\\n-3m=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-4,\\n=-12\end{cases}$

【分析】要解决这个问题，首先需将两个多项式相乘展开并合并同类项，得到展开式中各项的系数；由于展开结果不含$x^3$和$x^2$的项，说明这两项的系数为0，据此可列出关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组即可求出$m$、$n$的值。
【解析】先将$(x^3+mx+n)(x^2-3x+4)$展开并合并同类项：
$\begin{aligned}&(x^3+mx+n)(x^2-3x+4)\\=&x^5 - 3x^4 + 4x^3 + mx^3 - 3mx^2 + 4mx + nx^2 - 3nx + 4n\\=&x^5 - 3x^4 + (4+m)x^3 + (n-3m)x^2 + (4m-3n)x + 4n\end{aligned}$
因为展开结果不含$x^3$和$x^2$的项，所以这两项的系数为0，可得方程组：
$\begin{cases}4 + m = 0\\n - 3m = 0\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$m=-4$，将$m=-4$代入第二个方程，得$n - 3×(-4)=0$，解得$n=-12$。
【答案】$m=-4$，$n=-12$
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项；解二元一次方程组
【点评】本题考查多项式乘法的应用，核心是理解“多项式展开后不含某一项等价于该项系数为0”，需准确展开多项式并合并同类项，再通过解方程组求解参数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

15 新考向 阅读理解题 [2026 通州期中]【发现】数学活动课上,学习小组通过计算下面两组乘法算式的结果(每组算式中两个因数的和为定值),发现这样一个规律:两数和一定时,差的绝对值越小,乘积越大.
① $30×30,35×25,43×17,52×8$;
② $50×50,53×47,74×26,91×9$.
【验证】(1) 设两个数分别为 $a+b$ 和 $a-b$,其中 $a$ 为定值,$b≥0$. 请用整式的乘法证明上述规律.
【运用】(2) 请用上述规律解决问题:用 20 m 长的绳子围成一个长方形,求这个长方形的最大面积.

15. (1) $\because (a+b)+(a-b)=a+b+a-b=2a$(定值),$(a+b)·(a-b)=a^2-b^2$,且 $a^2$ 为定值,$\therefore$ 当 $b＞0$ 时,$b^2$ 的值随 $b$ 的增大而增大,则 $a^2-b^2$ 的值随 $b$ 的增大而减小,即 $b$ 越小乘积越大;当 $b=0$ 时,乘积最大(两数相等). 综上所述,两数和一定时,差的绝对值越小,乘积越大
(2) 根据题意可知,长$+$宽$=20÷2=10(\mathrm{m})$,即为定值,$\therefore$ 当长和宽相等时,差的绝对值为0,此时面积最大. $\therefore$ 长$=$宽$=10÷2=5(\mathrm{m})$,最大面积为 $5×5=25(\mathrm{m}^2)$

【分析】
本题分为规律验证和规律运用两部分：验证环节需通过设数将两个数表示为和差形式，计算两数的和（定值）与乘积，分析乘积随参数的变化规律，从而证明“两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大”；运用环节需先根据绳子长度求出长方形长与宽的和（定值），再结合证明的规律，确定长和宽相等时面积最大，进而计算最大面积。
【解析】
(1) 设两个数分别为$a+b$和$a-b$（$a$为定值，$b≥0$），则两数之和为$(a+b)+(a-b)=2a$（定值）；两数之积为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。因为$a^2$是定值，当$b＞0$时，$b^2$随$b$减小而减小，故$a^2 - b^2$随$b$减小而增大；当$b=0$时，乘积最大（此时两数相等）。综上，两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大。
(2) 用20m长的绳子围长方形，周长为20m，故长+宽$=20÷2=10m$（定值）。根据上述规律，当长和宽的差的绝对值最小时，面积最大，即长=宽$=10÷2=5m$时，面积最大，最大面积为$5×5=25m^2$。
【答案】
(1) 证明见解析，结论：两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大；(2) 最大面积为$25m^2$
【知识点】
整式的乘法、平方差公式、长方形面积计算
【点评】
本题是规律探究型应用题，先通过计算发现规律，再用整式乘法严谨证明，最后将规律迁移到长方形面积问题中，考查学生的逻辑推理与知识应用能力，题型新颖，难度适中。
【难度系数】
0.6