1 教材 P94 活动一变式 某市计划在公路$l$旁修建一个机场$M$,现有下列四种方案,则机场$M$到$A$,$B$两个城市的距离之和最短的是（）

1. B

【分析】要找到公路$ l $旁的点$ M $，使$ M $到$ A $、$ B $两城市的距离之和最短，需运用“将军饮马”模型：作点$ A $关于直线$ l $的对称点$ A' $，根据轴对称性质可知$ MA = MA' $，则$ MA + MB $可转化为$ MA' + MB $；再结合“两点之间，线段最短”，连接$ A'B $，$ A'B $与直线$ l $的交点即为满足条件的点$ M $，据此判断选项。
【解析】根据轴对称的性质，作点$ A $关于直线$ l $的对称点$ A' $，此时$ MA = MA' $，因此$ MA + MB = MA' + MB $。依据“两点之间，线段最短”，连接$ A'B $，$ A'B $与直线$ l $的交点就是使$ MA + MB $最短的点$ M $，观察四个选项，只有选项$ B $符合该作法。
【答案】B
【知识点】轴对称的应用；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】本题是典型的“将军饮马”最短路径问题，通过轴对称转化线段，将折线距离转化为两点间线段距离，结合线段的基本性质求解，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.6

2 如图，$△ ABC$ 为等边三角形，高 $AH=10\ \mathrm{cm}$，$P$ 为 $AH$ 上一动点，$D$ 为 $AB$ 的中点，则 $PD+PB$ 的最小值为 cm.

2. 10

【分析】
要找到PD+PB的最小值，利用等边三角形的对称性：等边△ABC的高AH是BC的垂直平分线，因此点B关于AH的对称点是点C，故PB=PC，将PD+PB转化为PD+PC。根据“两点之间线段最短”，当D、P、C三点共线时，PD+PC最小，最小值为线段DC的长度。结合等边三角形的性质，D是AB中点，DC是AB边上的中线，等边三角形的中线与高相等，因此DC=AH，即可求出结果。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AH是高，
∴AH垂直平分BC，即点B与点C关于直线AH对称，
∴PB=PC，
∴PD+PB=PD+PC，
根据两点之间线段最短，当点P为DC与AH的交点时，PD+PC取得最小值，最小值为线段DC的长度。
又
∵D是AB的中点，等边三角形的中线等于高，
∴DC=AH=10cm，
即PD+PB的最小值为10cm。
【答案】
10
【知识点】
轴对称最短路径，等边三角形性质
【点评】
本题是典型的“将军饮马”类最短路径问题，利用轴对称转化线段，结合等边三角形的性质求解，考查学生对轴对称和等边三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.5

3 如图,草地边缘 $OM$ 与小河河岸 $ON$ 在点 $O$ 处形成 $30°$ 的夹角,牧马人从 $A$ 地出发,先让马到草地吃草,然后去河边饮水,最后回到 $A$ 地. 已知 $OA=2\ \mathrm{km}$,请在图中设计一条路线,使所走的路径最短,并求出整个过程所行的路程.

3. 如图,分别画出点 A 关于 OM,ON 的对称点 B,C,连接 BC分别交 OM,ON 于点 D,E,连接 AD,AE,则线段 AD,DE,EA即为所求作的路径 连接 OB,OC. 由题意,易得 $OB=OA=OC=2\ \mathrm{km}$,$AD=BD$,$AE=CE$,$∠ BOM=∠ AOM$,$∠ AON=∠ CON$. $\because ∠ MON=30°$,$\therefore ∠ BOC=∠ BOM+∠ AOM+∠ AON+∠ CON=2(∠ AOM+∠ AON)=2∠ MON=60°$.
$\therefore △ OBC$ 为等边三角形. $\therefore BC=2\ \mathrm{km}$. $\therefore$ 整个过程所行的路程为 $AD+DE+EA=BD+DE+CE=BC=2\ \mathrm{km}$

【分析】
要设计最短路径，需利用轴对称的性质将折线转化为直线段。分别作点A关于OM、ON的对称点，可使路径AD+DE+EA转化为线段BC，只需计算BC的长度即可。关键是利用对称得到的角度关系和边长，判断△OBC为等边三角形，从而求出BC的长度。
【解析】
1. 作点A关于OM的对称点B，作点A关于ON的对称点C，连接BC，分别交OM于点D，交ON于点E，则路径AD→DE→EA即为所求的最短路径。
2. 由轴对称性质得：AD=BD，AE=CE，OB=OA=2km，OC=OA=2km，∠BOM=∠AOM，∠CON=∠AON。
3. 已知∠MON=30°，则∠BOC=∠BOM+∠AOM+∠AON+∠CON=2(∠AOM+∠AON)=2∠MON=60°。
4. 因为OB=OC=2km，∠BOC=60°，所以△OBC是等边三角形，故BC=OB=2km。
5. 整个过程的路程为AD+DE+EA=BD+DE+CE=BC=2km。
【答案】

【知识点】
轴对称最短路径、等边三角形判定
【点评】
本题是轴对称性质在最短路径问题中的典型应用，通过两次对称转化折线为直线，结合等边三角形性质求解，思路清晰，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5

4 如图,有一条小河和一片草地,一天,某牧民的计划是先从 A 处的牧场到草地牧马,再到小河饮水,最后回到 B 处,你能为他设计一条最短的路线吗(在 ON 上任意一点即可牧马,在 OM 上任意一点即可饮水,保留作图痕迹,不需要证明)?

4. 如图,作点 A 关于 ON 的对称点 E,再作点 B 关于 OM 的对称点 F,连接 EF,交 ON 于点 C,交 OM 于点 D,则 $AC\rightarrow CD\rightarrow DB$ 即为最短路线

【分析】要设计从A处到草地（ON上任意点）牧马，再到小河（OM上任意点）饮水，最后回到B处的最短路线，本质是求折线AC+CD+DB的最小值。根据“两点之间线段最短”，需将折线转化为直线段，利用轴对称的性质：作点A关于ON的对称点E，可使AC=EC；作点B关于OM的对称点F，可使DB=DF。此时AC+CD+DB=EC+CD+DF，当E、C、D、F四点共线时，总和等于线段EF，为最短路径，因此连接EF，与ON、OM的交点即为所求的牧马点C和饮水点D。
【解析】1. 作点A关于直线ON的对称点E；2. 作点B关于直线OM的对称点F；3. 连接EF，分别交ON于点C，交OM于点D，则路线AC→CD→DB即为最短路线。
【答案】作点A关于ON的对称点E，再作点B关于OM的对称点F，连接EF，交ON于点C，交OM于点D，则AC→CD→DB为最短路线。
【知识点】轴对称应用、最短路径问题
【点评】本题通过轴对称变换将折线转化为直线段，结合“两点之间线段最短”的性质解决最短路径问题，体现了转化的数学思想，是轴对称在实际生活中的典型应用。
【难度系数】0.5

5 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB$的垂直平分线交$AB$于点$N$,交$AC$于点$M$.
(1) 若$∠ ABC=70°$,则$∠ NMA$的度数是.
(2) 连接$MB$,若$AB=8\ \mathrm{cm}$,$△ MBC$的周长是$14\ \mathrm{cm}$.
① 求$BC$的长.
② 在直线$MN$上是否存在点$P$,使以$P$,$B$,$C$为顶点的$△ PBC$的周长最小? 若存在,标出点$P$的位置并求$△ PBC$的周长的最小值;若不存在,请说明理由.

5. (1) $50°$
(2) ① $\because MN$ 垂直平分 $AB$,$\therefore MB=MA$. 又$\because △ MBC$ 的周长是 $14\ \mathrm{cm}$,$\therefore MB+CM+BC=MA+CM+BC=AC+BC=14\ \mathrm{cm}$. $\because AB=AC=8\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=6\ \mathrm{cm}$
② 存在,点 $P$ 的位置如图所示 $\because MN$ 垂直平分 $AB$,$\therefore AP=BP$. $\therefore △ BPC$ 的周长 $=BP+PC+BC=AP+PC+BC$. $\therefore$ 当$A,P,C$ 三点共线,即点 $P$ 与点 $M$ 重合时,$BP+PC$ 的值最小,即为 $AC$ 的长. $\therefore △ BPC$ 的周长的最小值是 $AC+BC=14\ \mathrm{cm}$

【分析】
先梳理解题思路：
1. 第(1)问：由AB=AC得△ABC是等腰三角形，先求顶角∠A的度数；再根据MN是AB的垂直平分线，得∠ANM=90°，在Rt△ANM中利用直角三角形两锐角互余，计算∠NMA的度数。
2. 第(2)问①：利用垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）得MB=MA，将△MBC的周长转化为AC+BC，结合AB=AC=8cm，即可求出BC的长度。
3. 第(2)问②：根据垂直平分线的对称性，点A、B关于直线MN对称，故PB=PA；要使△PBC周长最小，即PB+PC最小，转化为PA+PC最小，当A、P、C共线时，PA+PC最小为AC，此时P为MN与AC的交点M，进而求出最小周长。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=70°，
∴ ∠A=180° - 70° -70°=40°，
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ ∠ANM=90°，
在△ANM中，∠NMA=90° - ∠A=90° -40°=50°。
(2) ①
∵ MN垂直平分AB，
∴ MB=MA，
∵ △MBC的周长=MB + CM + BC = MA + CM + BC = AC + BC，
又AB=AC=8cm，△MBC周长为14cm，
∴ 8 + BC=14，解得BC=6cm。
② 存在点P，点P与点M重合时，△PBC的周长最小，位置如图所示。
∵ MN垂直平分AB，
∴ 点A、B关于直线MN对称，故PB=PA，
∴ △PBC的周长=PB + PC + BC = PA + PC + BC，
根据两点之间线段最短，当A、P、C三点共线时，PA + PC最小，最小值为AC的长度，此时P为MN与AC的交点M，
∴ △PBC周长的最小值=AC + BC=8 +6=14cm。
【答案】
(1) $50°$
(2) ① $BC=6\ \mathrm{cm}$；② 存在，点P与点M重合，$△ PBC$周长最小值为$14\ \mathrm{cm}$，位置如图
【知识点】
等腰三角形性质、垂直平分线性质、最短路径问题
【点评】
本题综合考查等腰三角形、垂直平分线的性质及最短路径问题，核心是利用垂直平分线的对称性转化线段，将周长最小问题转化为线段和最小问题，需熟练掌握几何性质的应用。
【难度系数】
0.6