1 如图, $BD,CE$ 分别为 $△ ABC,△ BCD$ 的中线, 若 $△ ABD$ 的面积为 16, 则$△ CDE$ 的面积为（）

A.4
B.8
C.2
D.16

1. B

【分析】
要解决本题，需利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形（依据是等底同高的三角形面积相等）。首先，根据BD是△ABC的中线，得到△ABD与△CBD面积相等，求出△CBD的面积；再根据CE是△BCD的中线，得到△CDE与△CBE面积相等，进而算出△CDE的面积。
【解析】
1. 因为BD是△ABC的中线，所以AD = DC（中线的定义）。△ABD和△CBD的底AD与DC相等，且它们的高都是点B到AC的距离，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得$S_{△ ABD}=S_{△ CBD}$。已知$S_{△ ABD}=16$，因此$S_{△ CBD}=16$。
2. 因为CE是△BCD的中线，所以DE = EB（中线的定义）。△CDE和△CBE的底DE与EB相等，且它们的高都是点C到BD的距离，同理可得$S_{△ CDE}=S_{△ CBE}$。所以$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ CBD}=\frac{1}{2}×16=8$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线性质、三角形面积计算
【点评】
本题考查三角形中线与面积的关系，核心是利用“等底同高的三角形面积相等”这一性质，属于基础题型，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.5

2 如图,在$△ ABC$中,$AD$为$△ ABC$的中线,$△ ABD$的周长比$△ ACD$的周长大3,$AB=11$,求$AC$的长.

2. $\because AD$ 为$△ ABC$ 的中线,$\therefore BD=CD. \because △ ABD$ 的周长比$△ ACD$ 的周长大 3,$\therefore AB+AD+BD-(AC+AD+CD)=3$,即 $AB+AD+BD-AC-AD-CD=3. \therefore AB-AC=3$,即$11-AC=3$,解得 $AC=8. \therefore AC$ 的长为 8

【分析】
要解决本题，首先利用三角形中线的性质：中线将对边平分为两段，得到BD=CD；再结合两个三角形的周长表达式，发现公共边AD和相等的BD、CD可抵消，周长差仅为AB与AC的差，由此可计算AC的长度。
【解析】
∵AD为△ABC的中线，根据三角形中线的定义，D是BC的中点，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$AB + AD + BD$，△ACD的周长为$AC + AD + CD$。
已知△ABD的周长比△ACD的周长大3，因此：
$(AB + AD + BD) - (AC + AD + CD) = 3$
将$BD=CD$代入上式，AD为公共边可抵消，化简得：$AB - AC = 3$。
又
∵$AB=11$，代入得：$11 - AC = 3$，解得$AC=8$。
【答案】
8
【知识点】
三角形中线、三角形周长计算
【点评】
本题是三角形中线性质的基础应用，核心是利用中线平分对边的特点简化周长差，属于常规基础题，需掌握中线定义与周长的计算逻辑。
【难度系数】
0.6

3 如图,在$△ ABC$中,$D$是边$BC$上的一点,$DM,DN$分别是$△ ABD,△ ACD$的高,且$DM=DN$.
求证:$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$.

3. 如图,过点 A 作$AH⊥ BC$ 于点 H. $\because DM=DN,\therefore \dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB· DM}{\dfrac{1}{2}AC· DN}=\dfrac{AB}{AC}$,$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BD· AH}{\dfrac{1}{2}CD· AH}=\dfrac{BD}{CD}. \therefore \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$

【分析】要证明$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$，可利用三角形面积的比例关系。已知$DM$、$DN$是对应三角形的高且$DM=DN$，结合三角形面积公式，$△ ABD$和$△ ACD$的面积可通过两组不同的底和高表示，通过建立面积比与线段比的联系，即可推导出结论。
【解析】过点$A$作$AH ⊥ BC$于点$H$。
1. 计算$△ ABD$与$△ ACD$的面积比（用$AB$、$AC$和高$DM$、$DN$）：
$\because DM$是$△ ABD$的高，$DN$是$△ ACD$的高，且$DM=DN$，
$\therefore \dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AB · DM}{\dfrac{1}{2}AC · DN} = \dfrac{AB}{AC}$。
2. 再计算$△ ABD$与$△ ACD$的面积比（用$BD$、$CD$和高$AH$）：
$\because AH$是$△ ABD$和$△ ACD$共同的高，
$\therefore \dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BD · AH}{\dfrac{1}{2}CD · AH} = \dfrac{BD}{CD}$。
3. 联立两个面积比的结果，可得$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CD}$。
【答案】如图,过点 A 作$AH⊥ BC$ 于点 H. $\because DM=DN,\therefore \dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB· DM}{\dfrac{1}{2}AC· DN}=\dfrac{AB}{AC}$,$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BD· AH}{\dfrac{1}{2}CD· AH}=\dfrac{BD}{CD}. \therefore \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$
【知识点】三角形面积计算、比例线段
【点评】本题通过三角形面积的两种不同表达形式，将线段比例转化为面积比例，是几何中证明线段比例的常用技巧，体现了面积法的转化思想，需学生掌握这种解题方法。
【难度系数】0.5

4 如图, A D 是$△ A B C$的高, C E 是$△ A B C$的角平分线, B F 是$△ A B C$的中线.
(1) 若$∠ A C B=50°$,$∠ B A D=65°$, 求$∠ A E C$的度数;
(2) 若$B C-A B=9$, 求$△ B C F$与$△ B A F$的周长之差.

4. (1) $\because AD$ 是$△ ABC$ 的高,$\therefore ∠ ADB=90°. \therefore ∠ ABD=180°-∠ ADB-∠ BAD=180°-90°-65°=25°. \because CE$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$\therefore ∠ BCE=\dfrac{1}{2}∠ ACB=\dfrac{1}{2}×50°=25°$.
$\therefore ∠ BEC=180°-∠ ABD-∠ BCE=130°. \therefore ∠ AEC=180°-∠ BEC=50°$
(2) $\because BF$ 是$△ ABC$ 的中线,$\therefore AF=CF$.
$\therefore BC+BF+CF-(AB+BF+AF)=BC-AB=9. \therefore △ BCF$与$△ BAF$ 的周长之差为 9

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用三角形高的性质、角平分线的性质及三角形内角和定理求角度；第(2)问利用三角形中线的性质，通过计算两个三角形的周长差求解。解题时先明确各线段的定义：AD是高则对应直角，CE是角平分线则平分∠ACB，BF是中线则平分AC，再结合三角形内角和、周长公式逐步推导。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
在△ABD中，∠ABD = 180° - ∠ADB - ∠BAD = 180° - 90° - 65° = 25°。
∵CE是△ABC的角平分线，∠ACB=50°，
∴∠BCE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
在△BEC中，∠BEC = 180° - ∠ABD - ∠BCE = 180° - 25° - 25° = 130°，
∴∠AEC = 180° - ∠BEC = 50°。
(2)
∵BF是△ABC的中线，
∴AF = CF。
△BCF的周长 = BC + BF + CF，△BAF的周长 = AB + BF + AF，
两者的周长差为：(BC + BF + CF) - (AB + BF + AF) = BC - AB，
已知BC - AB = 9，故△BCF与△BAF的周长之差为9。
【答案】
(1) 50°；(2) 9
【知识点】
三角形的高、角平分线、中线；三角形内角和；三角形周长计算
【点评】
本题考查三角形中高、角平分线、中线的基本性质，结合角度计算与周长差的推导，属于基础题型，需准确掌握相关线段的定义及运算规则。
【难度系数】
0.5