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1 若 A,B 都是整式，$\dfrac{A}{B}$表示分式，则（
A.A,B 都必须含有字母
B.A 必须含有字母
C.B 必须含有字母
D.A,B 都不必须含有字母
C
）A.A,B 都必须含有字母
B.A 必须含有字母
C.B 必须含有字母
D.A,B 都不必须含有字母
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确分式的定义：形如$\dfrac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，且$B$中含有字母、$B≠0$）的式子叫做分式。接下来结合定义逐一分析选项即可。
【解析】
根据分式的定义，分式的核心要求是分母$B$必须含有字母，分子$A$可以是任意整式（不一定含字母）。对各选项分析：
A选项：$A$、$B$都必须含有字母，错误。例如$\dfrac{2}{x}$是分式，其中分子$A=2$不含字母。
B选项：$A$必须含有字母，错误。上述例子中$A$不含字母，仍满足分式要求。
C选项：$B$必须含有字母，符合分式定义，正确。
D选项：$A$、$B$都不必须含有字母，错误。分母$B$必须含字母才能构成分式。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题直接考查分式的基础定义，属于概念类基础题，只要准确掌握分式定义中“分母必须含字母”这一关键条件，即可快速选出正确答案，侧重对核心概念的识记考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确分式的定义：形如$\dfrac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，且$B$中含有字母、$B≠0$）的式子叫做分式。接下来结合定义逐一分析选项即可。
【解析】
根据分式的定义，分式的核心要求是分母$B$必须含有字母，分子$A$可以是任意整式（不一定含字母）。对各选项分析：
A选项：$A$、$B$都必须含有字母，错误。例如$\dfrac{2}{x}$是分式，其中分子$A=2$不含字母。
B选项：$A$必须含有字母，错误。上述例子中$A$不含字母，仍满足分式要求。
C选项：$B$必须含有字母，符合分式定义，正确。
D选项：$A$、$B$都不必须含有字母，错误。分母$B$必须含字母才能构成分式。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题直接考查分式的基础定义，属于概念类基础题，只要准确掌握分式定义中“分母必须含字母”这一关键条件，即可快速选出正确答案，侧重对核心概念的识记考查。
【难度系数】
0.8
2 下列分式计算结果正确的是（
A.$\dfrac{2(b+c)}{a+3(b+c)}=\dfrac{2}{a+3}$
B.$\dfrac{a+b}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a+b}$
C.$\dfrac{(a-b)^2}{(a+b)^2}=-1$
D.$\dfrac{x-y}{2xy-x^2-y^2}=\dfrac{1}{y-x}$
D
）A.$\dfrac{2(b+c)}{a+3(b+c)}=\dfrac{2}{a+3}$
B.$\dfrac{a+b}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a+b}$
C.$\dfrac{(a-b)^2}{(a+b)^2}=-1$
D.$\dfrac{x-y}{2xy-x^2-y^2}=\dfrac{1}{y-x}$
答案
2. D
解析
【分析】
本题是判断分式计算结果的正确性，需依据分式的基本性质、因式分解的知识，逐个分析选项，重点关注分式约分的前提是分子分母有公因式，且不能随意约去非公因式的整体。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：左边分式的分子为$2(b+c)$，分母为$a+3(b+c)$，分子分母没有公因式，不能直接约去$(b+c)$，故A错误。
选项B：分母$a^2+b^2$无法因式分解，与分子$a+b$没有公因式，不能约分，故B错误。
选项C：$\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}=(\frac{a-b}{a+b})^2$，不等于$-1$，故C错误。
选项D：先对分母因式分解：$2xy-x^2-y^2=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$，则原式变为$\frac{x-y}{-(x-y)^2}$，约分后得$\frac{1}{-(x-y)}=\frac{1}{y-x}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、因式分解（完全平方公式）
【点评】
本题考查分式约分的核心规则，关键在于正确对分母进行因式分解，避免随意约去非公因式的部分，属于分式运算的基础题型，需学生掌握完全平方公式和分式约分的条件。
【难度系数】
0.5
本题是判断分式计算结果的正确性，需依据分式的基本性质、因式分解的知识，逐个分析选项，重点关注分式约分的前提是分子分母有公因式，且不能随意约去非公因式的整体。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：左边分式的分子为$2(b+c)$，分母为$a+3(b+c)$，分子分母没有公因式，不能直接约去$(b+c)$，故A错误。
选项B：分母$a^2+b^2$无法因式分解，与分子$a+b$没有公因式，不能约分，故B错误。
选项C：$\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}=(\frac{a-b}{a+b})^2$，不等于$-1$，故C错误。
选项D：先对分母因式分解：$2xy-x^2-y^2=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$，则原式变为$\frac{x-y}{-(x-y)^2}$，约分后得$\frac{1}{-(x-y)}=\frac{1}{y-x}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、因式分解（完全平方公式）
【点评】
本题考查分式约分的核心规则，关键在于正确对分母进行因式分解，避免随意约去非公因式的部分，属于分式运算的基础题型，需学生掌握完全平方公式和分式约分的条件。
【难度系数】
0.5
3 若 $x^{2}+3x=-1$,则式子 $x-\dfrac{1}{x+1}$ 的值是（
A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A
）A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
3. A
解析
【分析】
要计算式子$x - \dfrac{1}{x+1}$的值，需先对该分式通分化简，再结合已知条件$x^2 + 3x = -1$，通过整体代入法替换化简后的高次项，从而快速求出结果。
【解析】
解：先对$x - \dfrac{1}{x+1}$通分：
$\begin{aligned}x - \dfrac{1}{x+1}&=\dfrac{x(x+1)}{x+1} - \dfrac{1}{x+1}\\&=\dfrac{x^2 + x - 1}{x+1}\end{aligned}$
由已知$x^2 + 3x = -1$，可得$x^2 = -1 - 3x$，将其代入分子：
$\begin{aligned}分子&= (-1 - 3x) + x - 1\\&= -2x - 2\\&= -2(x + 1)\end{aligned}$
因此原式化简为：
$\dfrac{-2(x + 1)}{x + 1} = -2 \quad (x ≠ -1，否则原分式无意义)$
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值、整体代入法
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通过通分变形所求式子，再利用整体代入思想简化计算，是初中代数的基础题型，只要掌握通分和代入技巧即可快速解答。
【难度系数】
0.6
要计算式子$x - \dfrac{1}{x+1}$的值，需先对该分式通分化简，再结合已知条件$x^2 + 3x = -1$，通过整体代入法替换化简后的高次项，从而快速求出结果。
【解析】
解：先对$x - \dfrac{1}{x+1}$通分：
$\begin{aligned}x - \dfrac{1}{x+1}&=\dfrac{x(x+1)}{x+1} - \dfrac{1}{x+1}\\&=\dfrac{x^2 + x - 1}{x+1}\end{aligned}$
由已知$x^2 + 3x = -1$，可得$x^2 = -1 - 3x$，将其代入分子：
$\begin{aligned}分子&= (-1 - 3x) + x - 1\\&= -2x - 2\\&= -2(x + 1)\end{aligned}$
因此原式化简为：
$\dfrac{-2(x + 1)}{x + 1} = -2 \quad (x ≠ -1，否则原分式无意义)$
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值、整体代入法
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通过通分变形所求式子，再利用整体代入思想简化计算，是初中代数的基础题型，只要掌握通分和代入技巧即可快速解答。
【难度系数】
0.6
4 [2025 绥化]用 A,B 两种货车运输化工原料,A 货车比 B 货车每小时多运输 15 t,A 货车运输 450 t化工原料所用时间与 B 货车运输 300 t 所用时间相等. 若设 B 货车每小时运输化工原料 $x\ \mathrm{t}$, 则可列方程为（
A.$\dfrac{300}{15+x}=\dfrac{450}{x}$
B.$\dfrac{300}{15-x}=\dfrac{450}{x}$
C.$\dfrac{450}{15+x}=\dfrac{300}{x}$
D.$\dfrac{450}{15-x}=\dfrac{300}{x}$
C
）A.$\dfrac{300}{15+x}=\dfrac{450}{x}$
B.$\dfrac{300}{15-x}=\dfrac{450}{x}$
C.$\dfrac{450}{15+x}=\dfrac{300}{x}$
D.$\dfrac{450}{15-x}=\dfrac{300}{x}$
答案
4. C
解析
【分析】首先，设B货车每小时运输化工原料$x\ \mathrm{t}$，根据“A货车比B货车每小时多运输15 t”，可推出A货车每小时运输$(x + 15)\ \mathrm{t}$；再依据“运输时间=运输总量÷每小时运输量”，分别表示出A货车运输450 t的时间为$\frac{450}{x + 15}$，B货车运输300 t的时间为$\frac{300}{x}$；题目中明确两者运输时间相等，据此可建立方程。
【解析】设B货车每小时运输化工原料$x\ \mathrm{t}$，则A货车每小时运输$(x + 15)\ \mathrm{t}$。
根据“运输时间相等”的等量关系，A货车运输450 t的时间为$\frac{450}{x + 15}$，B货车运输300 t的时间为$\frac{300}{x}$，因此可列方程：$\frac{450}{15 + x} = \frac{300}{x}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式方程的应用、列代数式
【点评】本题是分式方程应用的基础题型，核心是找准“运输时间相等”的等量关系，通过速度与时间的数量关系列出方程，侧重考查学生对基本数量关系的理解，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】设B货车每小时运输化工原料$x\ \mathrm{t}$，则A货车每小时运输$(x + 15)\ \mathrm{t}$。
根据“运输时间相等”的等量关系，A货车运输450 t的时间为$\frac{450}{x + 15}$，B货车运输300 t的时间为$\frac{300}{x}$，因此可列方程：$\frac{450}{15 + x} = \frac{300}{x}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式方程的应用、列代数式
【点评】本题是分式方程应用的基础题型，核心是找准“运输时间相等”的等量关系，通过速度与时间的数量关系列出方程，侧重考查学生对基本数量关系的理解，难度较低。
【难度系数】0.6
5 在括号内填上适当的式子：
(1)
； (2) $\dfrac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}=\dfrac{(\quad\quad)}{x-y}.$
(1)
； (2) $\dfrac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}=\dfrac{(\quad\quad)}{x-y}.$答案
5. (1) 18a (2) $x+y$
解析
【分析】本题考查分式的基本性质，核心是利用“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”这一性质解题。对于第(1)题，需对比两个分式的分母变化，再根据性质调整分子即可得到括号内的式子。
【解析】(1) 观察两个分式的分母：左边分式的分母是$mn$，右边分式的分母是$2amn$，分母从$mn$变为$2amn$，相当于乘以了$2a$。根据分式的基本性质，分子也需乘以$2a$，因此括号内的式子为：$9×2a=18a$。
【答案】18a
【知识点】分式的基本性质
【点评】本题是分式基本性质的基础应用，只需准确找出分母的变化倍数，对应调整分子即可，属于分式运算的入门题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】(1) 观察两个分式的分母：左边分式的分母是$mn$，右边分式的分母是$2amn$，分母从$mn$变为$2amn$，相当于乘以了$2a$。根据分式的基本性质，分子也需乘以$2a$，因此括号内的式子为：$9×2a=18a$。
【答案】18a
【知识点】分式的基本性质
【点评】本题是分式基本性质的基础应用，只需准确找出分母的变化倍数，对应调整分子即可，属于分式运算的入门题型，难度较低。
【难度系数】0.7
6 已知 $0.0007 × 0.000009 = 6.3 × 10^{n}$ , 则整数 $n =$
-9
.答案
6. -9
解析
【分析】要解决本题，需先将两个小数转化为科学记数法，再利用同底数幂的乘法法则计算乘积，最后将结果整理为标准科学记数法，对比指数即可求出n的值。具体思路：1. 把小于1的小数转化为科学记数法（形式为$a×10^k$，其中$1≤a＜10$，k为负整数，绝对值是原数第一个非零数字前的零的个数）；2. 计算两个科学记数法的乘积；3. 将乘积调整为标准科学记数法，对应题目形式得到n。
【解析】解：首先将小数转化为科学记数法：
$0.0007 = 7×10^{-4}$，
$0.000009 = 9×10^{-6}$；
计算乘积：
$0.0007×0.000009 = (7×10^{-4})×(9×10^{-6})$
$= (7×9)×(10^{-4}×10^{-6})$
$= 63×10^{-10}$；
将结果整理为标准科学记数法：
$63×10^{-10} = 6.3×10^1×10^{-10} = 6.3×10^{-9}$；
对比题目中$6.3×10^n$，可得$n = -9$。
【答案】-9
【知识点】科学记数法、同底数幂的乘法
【点评】本题考查科学记数法的运算，核心是掌握小数与科学记数法的转化规则及同底数幂的乘法法则，易错点在于指数的计算与调整，整体为基础题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】解：首先将小数转化为科学记数法：
$0.0007 = 7×10^{-4}$，
$0.000009 = 9×10^{-6}$；
计算乘积：
$0.0007×0.000009 = (7×10^{-4})×(9×10^{-6})$
$= (7×9)×(10^{-4}×10^{-6})$
$= 63×10^{-10}$；
将结果整理为标准科学记数法：
$63×10^{-10} = 6.3×10^1×10^{-10} = 6.3×10^{-9}$；
对比题目中$6.3×10^n$，可得$n = -9$。
【答案】-9
【知识点】科学记数法、同底数幂的乘法
【点评】本题考查科学记数法的运算，核心是掌握小数与科学记数法的转化规则及同底数幂的乘法法则，易错点在于指数的计算与调整，整体为基础题，难度适中。
【难度系数】0.6
7 若$a^{2}+5ab-b^{2}=0$，则$\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}$的值为
5
.答案
7. 5 【解析】$\because a^{2}+5ab-b^{2}=0,\therefore b^{2}-a^{2}=5ab.\therefore \dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^{2}-a^{2}}{ab}=\dfrac{5ab}{ab}=5.$
解析
【分析】
先观察所求的分式差，可先对其通分化简，再结合已知等式变形，将化简后的分子用已知条件替换，进而计算结果。具体思路：第一步，对$\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}$通分，得到同分母分式；第二步，将已知等式$a^2 +5ab -b^2=0$移项，得到与通分后分子相关的式子；第三步，代入化简后的分式，约分得出结果。
【解析】
已知$a^2 +5ab -b^2=0$，移项可得$b^2 -a^2=5ab$。
对$\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}$通分，根据分式减法法则：
$\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2}{ab}-\dfrac{a^2}{ab}=\dfrac{b^2 -a^2}{ab}$
将$b^2 -a^2=5ab$代入上式，得：
$\dfrac{5ab}{ab}$
因为分式中分母$ab≠0$，约分后结果为$5$。
【答案】
5
【知识点】
分式的加减运算、代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题，核心是利用分式通分法则化简所求式子，再结合已知等式变形代入计算，步骤清晰，难度适中，适合巩固分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.5
先观察所求的分式差，可先对其通分化简，再结合已知等式变形，将化简后的分子用已知条件替换，进而计算结果。具体思路：第一步，对$\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}$通分，得到同分母分式；第二步，将已知等式$a^2 +5ab -b^2=0$移项，得到与通分后分子相关的式子；第三步，代入化简后的分式，约分得出结果。
【解析】
已知$a^2 +5ab -b^2=0$，移项可得$b^2 -a^2=5ab$。
对$\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}$通分，根据分式减法法则：
$\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2}{ab}-\dfrac{a^2}{ab}=\dfrac{b^2 -a^2}{ab}$
将$b^2 -a^2=5ab$代入上式，得：
$\dfrac{5ab}{ab}$
因为分式中分母$ab≠0$，约分后结果为$5$。
【答案】
5
【知识点】
分式的加减运算、代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题，核心是利用分式通分法则化简所求式子，再结合已知等式变形代入计算，步骤清晰，难度适中，适合巩固分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.5
8 若关于 $x$ 的方程 $\dfrac{x-m}{x-1}+\dfrac{2m}{1-x}=5$ 的解为正数,则 $m$ 的取值范围是
$m＜\dfrac{5}{3}且m≠\dfrac{1}{3}$
.答案
8. $m＜\dfrac{5}{3}$且$m≠\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再根据两个条件确定m的取值范围：一是解为正数，二是分式方程的分母不能为0（避免出现增根），这两个条件缺一不可。
【解析】
解：原方程可变形为：
$\dfrac{x - m}{x - 1} - \dfrac{2m}{x - 1} = 5$
合并分式得：
$\dfrac{x - m - 2m}{x - 1} = 5$，即$\dfrac{x - 3m}{x - 1} = 5$
去分母（隐含条件$x≠1$），两边同乘$x - 1$得：
$x - 3m = 5(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$x - 3m = 5x - 5$
移项得：$x - 5x = 3m - 5$
合并同类项得：$-4x = 3m - 5$
解得：$x = \dfrac{5 - 3m}{4}$
根据题意，方程的解为正数，因此：
$\dfrac{5 - 3m}{4} ＞ 0$，解得$m ＜ \dfrac{5}{3}$
又因为原分式方程分母不能为0，即$x≠1$，所以：
$\dfrac{5 - 3m}{4} ≠ 1$，解得$m ≠ \dfrac{1}{3}$
综上，$m$的取值范围是$m ＜ \dfrac{5}{3}$且$m ≠ \dfrac{1}{3}$。
【答案】
$m＜\dfrac{5}{3}$且$m≠\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式方程的解，不等式的应用
【点评】
本题考查分式方程解的条件，解题时需注意两个易错点：一是去分母时要隐含分母不为0的前提，二是求出解后必须排除使原分式方程分母为0的增根情况，否则会导致取值范围错误，属于易混淆的基础题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再根据两个条件确定m的取值范围：一是解为正数，二是分式方程的分母不能为0（避免出现增根），这两个条件缺一不可。
【解析】
解：原方程可变形为：
$\dfrac{x - m}{x - 1} - \dfrac{2m}{x - 1} = 5$
合并分式得：
$\dfrac{x - m - 2m}{x - 1} = 5$，即$\dfrac{x - 3m}{x - 1} = 5$
去分母（隐含条件$x≠1$），两边同乘$x - 1$得：
$x - 3m = 5(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$x - 3m = 5x - 5$
移项得：$x - 5x = 3m - 5$
合并同类项得：$-4x = 3m - 5$
解得：$x = \dfrac{5 - 3m}{4}$
根据题意，方程的解为正数，因此：
$\dfrac{5 - 3m}{4} ＞ 0$，解得$m ＜ \dfrac{5}{3}$
又因为原分式方程分母不能为0，即$x≠1$，所以：
$\dfrac{5 - 3m}{4} ≠ 1$，解得$m ≠ \dfrac{1}{3}$
综上，$m$的取值范围是$m ＜ \dfrac{5}{3}$且$m ≠ \dfrac{1}{3}$。
【答案】
$m＜\dfrac{5}{3}$且$m≠\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式方程的解，不等式的应用
【点评】
本题考查分式方程解的条件，解题时需注意两个易错点：一是去分母时要隐含分母不为0的前提，二是求出解后必须排除使原分式方程分母为0的增根情况，否则会导致取值范围错误，属于易混淆的基础题型。
【难度系数】
0.5
9 计算：
(1) $[2025$ 南通 $](\dfrac{3}{a+3}+1)· \dfrac{a^{2}-9}{a+6}$；
(2) $(1-\dfrac{4}{a+3})÷ \dfrac{a^{2}-2a+1}{2a+6}$.
(1) $[2025$ 南通 $](\dfrac{3}{a+3}+1)· \dfrac{a^{2}-9}{a+6}$；
(2) $(1-\dfrac{4}{a+3})÷ \dfrac{a^{2}-2a+1}{2a+6}$.
答案
9. (1) $a-3$ (2) $\dfrac{2}{a-1}$
解析
【分析】本题考查分式的混合运算，解题思路是：分式混合运算需遵循“先算括号内，再算乘除”的顺序，运算中结合因式分解（平方差公式、完全平方公式）简化约分。第(1)题先对括号内分式通分相加，再将多项式用平方差公式分解后约分；第(2)题先对括号内分式通分相减，再将除法转化为乘法，分解因式后约分得到结果。
【解析】
(1) 计算括号内的加法：
$\dfrac{3}{a+3} + 1 = \dfrac{3}{a+3} + \dfrac{a+3}{a+3} = \dfrac{3+a+3}{a+3} = \dfrac{a+6}{a+3}$
再计算乘法，利用平方差公式分解$a^2-9=(a+3)(a-3)$：
$(\dfrac{a+6}{a+3}) · \dfrac{a^2-9}{a+6} = \dfrac{a+6}{a+3} · \dfrac{(a+3)(a-3)}{a+6} = a-3$
(2) 计算括号内的减法：
$1 - \dfrac{4}{a+3} = \dfrac{a+3}{a+3} - \dfrac{4}{a+3} = \dfrac{a+3-4}{a+3} = \dfrac{a-1}{a+3}$
将除法转化为乘法，利用完全平方公式分解$a^2-2a+1=(a-1)^2$，提公因式得$2a+6=2(a+3)$：
$\dfrac{a-1}{a+3} ÷ \dfrac{a^2-2a+1}{2a+6} = \dfrac{a-1}{a+3} · \dfrac{2(a+3)}{(a-1)^2} = \dfrac{2}{a-1}$
【答案】
(1) $a-3$；(2) $\dfrac{2}{a-1}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解的应用，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，考查分式通分、约分及因式分解的基本方法，运算步骤清晰，掌握分式运算法则即可顺利求解，属于常规得分题。
【难度系数】
0.7
【解析】
(1) 计算括号内的加法：
$\dfrac{3}{a+3} + 1 = \dfrac{3}{a+3} + \dfrac{a+3}{a+3} = \dfrac{3+a+3}{a+3} = \dfrac{a+6}{a+3}$
再计算乘法，利用平方差公式分解$a^2-9=(a+3)(a-3)$：
$(\dfrac{a+6}{a+3}) · \dfrac{a^2-9}{a+6} = \dfrac{a+6}{a+3} · \dfrac{(a+3)(a-3)}{a+6} = a-3$
(2) 计算括号内的减法：
$1 - \dfrac{4}{a+3} = \dfrac{a+3}{a+3} - \dfrac{4}{a+3} = \dfrac{a+3-4}{a+3} = \dfrac{a-1}{a+3}$
将除法转化为乘法，利用完全平方公式分解$a^2-2a+1=(a-1)^2$，提公因式得$2a+6=2(a+3)$：
$\dfrac{a-1}{a+3} ÷ \dfrac{a^2-2a+1}{2a+6} = \dfrac{a-1}{a+3} · \dfrac{2(a+3)}{(a-1)^2} = \dfrac{2}{a-1}$
【答案】
(1) $a-3$；(2) $\dfrac{2}{a-1}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解的应用，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，考查分式通分、约分及因式分解的基本方法，运算步骤清晰，掌握分式运算法则即可顺利求解，属于常规得分题。
【难度系数】
0.7
10 解方程：
(1) $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x^2-1}=1$；
(2) $\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{1-x}-\dfrac{x+5}{x(1-x)}=0.$
(1) $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x^2-1}=1$；
(2) $\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{1-x}-\dfrac{x+5}{x(1-x)}=0.$
答案
10. (1) $x=2$ (2) $x=-\dfrac{1}{5}$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程，步骤为：先确定各分式的最简公分母，两边同乘公分母消去分母得到整式方程；解整式方程后，需将解代入原方程检验，排除使分母为0的增根，最终确定方程的解。对于(1)，先将分母因式分解确定最简公分母；对于(2)，直接确定最简公分母，再按步骤求解并检验。
【解析】
(1) 原方程为 $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x^2-1}=1$，
因为 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，所以最简公分母为 $(x-1)(x+1)$，
方程两边同乘 $(x-1)(x+1)$，得：
$x(x+1)-(2x-1)=(x-1)(x+1)$，
展开化简左边：$x^2+x-2x+1=x^2 -x +1$，
右边：$x^2 -1$，
移项合并同类项：$x^2 -x +1 -x^2 +1=0$，即 $-x +2=0$，
解得 $x=2$，
检验：当 $x=2$ 时，$(x-1)(x+1)=1×3=3≠0$，故 $x=2$ 是原方程的解。
(2) 原方程为 $\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{1-x}-\dfrac{x+5}{x(1-x)}=0$，
最简公分母为 $x(1-x)$，
方程两边同乘 $x(1-x)$，得：
$3(1-x) -6x - (x+5)=0$，
展开化简：$3 -3x -6x -x -5=0$，
合并同类项：$-10x -2=0$，
解得 $x=-\dfrac{1}{5}$，
检验：当 $x=-\dfrac{1}{5}$ 时，$x(1-x)=-\dfrac{1}{5}×\dfrac{6}{5}=-\dfrac{6}{25}≠0$，故 $x=-\dfrac{1}{5}$ 是原方程的解。
【答案】
(1) $x=2$；(2) $x=-\dfrac{1}{5}$
【知识点】
解分式方程、增根的检验
【点评】
本题为分式方程的基础题型，重点考查最简公分母的确定、去分母的运算及解的检验，需注意去分母时每一项都要乘公分母，检验是避免增根的关键，属于初中数学的核心基础内容。
【难度系数】
0.3
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程，步骤为：先确定各分式的最简公分母，两边同乘公分母消去分母得到整式方程；解整式方程后，需将解代入原方程检验，排除使分母为0的增根，最终确定方程的解。对于(1)，先将分母因式分解确定最简公分母；对于(2)，直接确定最简公分母，再按步骤求解并检验。
【解析】
(1) 原方程为 $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x^2-1}=1$，
因为 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，所以最简公分母为 $(x-1)(x+1)$，
方程两边同乘 $(x-1)(x+1)$，得：
$x(x+1)-(2x-1)=(x-1)(x+1)$，
展开化简左边：$x^2+x-2x+1=x^2 -x +1$，
右边：$x^2 -1$，
移项合并同类项：$x^2 -x +1 -x^2 +1=0$，即 $-x +2=0$，
解得 $x=2$，
检验：当 $x=2$ 时，$(x-1)(x+1)=1×3=3≠0$，故 $x=2$ 是原方程的解。
(2) 原方程为 $\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{1-x}-\dfrac{x+5}{x(1-x)}=0$，
最简公分母为 $x(1-x)$，
方程两边同乘 $x(1-x)$，得：
$3(1-x) -6x - (x+5)=0$，
展开化简：$3 -3x -6x -x -5=0$，
合并同类项：$-10x -2=0$，
解得 $x=-\dfrac{1}{5}$，
检验：当 $x=-\dfrac{1}{5}$ 时，$x(1-x)=-\dfrac{1}{5}×\dfrac{6}{5}=-\dfrac{6}{25}≠0$，故 $x=-\dfrac{1}{5}$ 是原方程的解。
【答案】
(1) $x=2$；(2) $x=-\dfrac{1}{5}$
【知识点】
解分式方程、增根的检验
【点评】
本题为分式方程的基础题型，重点考查最简公分母的确定、去分母的运算及解的检验，需注意去分母时每一项都要乘公分母，检验是避免增根的关键，属于初中数学的核心基础内容。
【难度系数】
0.3
