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10.已知等式 $ y = ax^2 + bx + c $，当 $ x=1 $ 时，$ y=0 $；当 $ x=2 $ 时，$ y=3 $；当 $ x=-3 $ 时，$ y=28 $。
（1）求 $ a,b,c $ 的值；
（2）当 $ x=-2 $ 时，$ y $ 的值是多少？
（1）求 $ a,b,c $ 的值；
（2）当 $ x=-2 $ 时，$ y $ 的值是多少？
答案
解：
(1) 将$x=1,y=0$；$x=2,y=3$；$x=-3,y=28$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \quad ① \\4a + 2b + c = 3 \quad ② \\9a - 3b + c = 28 \quad ③\end{cases}$
②$-$①，得：$3a + b = 3 \quad ④$
③$-$②，得：$5a - 5b = 25$，化简得$a - b = 5 \quad ⑤$
④$+$⑤，得：$4a = 8$，解得$a=2$
把$a=2$代入⑤，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$
把$a=2$，$b=-3$代入①，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
因此$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
(2) 将$a=2,b=-3,c=1$代入等式，得$y=2x^2 - 3x + 1$
当$x=-2$时：
$y=2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
答：(1) $a=2$，$b=-3$，$c=1$；(2) 当$x=-2$时，$y$的值为15。
(1) 将$x=1,y=0$；$x=2,y=3$；$x=-3,y=28$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \quad ① \\4a + 2b + c = 3 \quad ② \\9a - 3b + c = 28 \quad ③\end{cases}$
②$-$①，得：$3a + b = 3 \quad ④$
③$-$②，得：$5a - 5b = 25$，化简得$a - b = 5 \quad ⑤$
④$+$⑤，得：$4a = 8$，解得$a=2$
把$a=2$代入⑤，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$
把$a=2$，$b=-3$代入①，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
因此$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
(2) 将$a=2,b=-3,c=1$代入等式，得$y=2x^2 - 3x + 1$
当$x=-2$时：
$y=2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
答：(1) $a=2$，$b=-3$，$c=1$；(2) 当$x=-2$时，$y$的值为15。
11. 五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）中性笔作为奖品。已知甲种笔每支6元，乙种笔每支4元，则老师购买两种笔的方案共有（）
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
答案
B
解析
设购买甲种笔x支，乙种笔y支，x、y均为正整数。根据总花费列方程：$6x + 4y = 48$，化简得$3x + 2y = 24$，变形为$y=\frac{24-3x}{2}$。
由于x、y均为正整数，因此$24-3x$必须为正偶数，逐一验证符合条件的正整数x：
1. 当$x=2$时，$y=9$，符合要求；
2. 当$x=4$时，$y=6$，符合要求；
3. 当$x=6$时，$y=3$，符合要求。
总计有3种购买方案。
由于x、y均为正整数，因此$24-3x$必须为正偶数，逐一验证符合条件的正整数x：
1. 当$x=2$时，$y=9$，符合要求；
2. 当$x=4$时，$y=6$，符合要求；
3. 当$x=6$时，$y=3$，符合要求。
总计有3种购买方案。
12. 甲、乙两人分别从相距 40 km 的 A,B 两地出发,相向而行,如果甲比乙早出发1 h,那么乙出发后2 h,他们相遇;如果他们同时出发,那么2.5 h后,两人相距5 km,则甲由 A 地到 B 地需要（）
A.$\frac{10}{3}$ h
B.20 h
C.10 h或 20 h
D.$\frac{10}{3}$ h或 10 h
A.$\frac{10}{3}$ h
B.20 h
C.10 h或 20 h
D.$\frac{10}{3}$ h或 10 h
答案
D
解析
设甲的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，乙的速度为$y\ \mathrm{km/h}$。
1. 根据甲比乙早出发1h、乙出发2h后相遇的条件，甲共行驶3h，乙行驶2h，总路程为40km，列方程：$3x + 2y = 40$。
2. 分两种情况讨论2.5h后两人相距5km的条件：
情况1：两人尚未相遇，总路程为$40-5=35\ \mathrm{km}$，列方程：$2.5(x+y)=35$，即$x+y=14$。
联立$\begin{cases}3x+2y=40 \\ x+y=14 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=12 \\ y=2 \end{cases}$，甲从A到B的时间为$\frac{40}{12}=\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$。
情况2：两人相遇后错开，总路程为$40+5=45\ \mathrm{km}$，列方程：$2.5(x+y)=45$，即$x+y=18$。
联立$\begin{cases}3x+2y=40 \\ x+y=18 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4 \\ y=14 \end{cases}$，甲从A到B的时间为$\frac{40}{4}=10\ \mathrm{h}$。
因此甲由A地到B地需要$\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$或$10\ \mathrm{h}$。
1. 根据甲比乙早出发1h、乙出发2h后相遇的条件，甲共行驶3h，乙行驶2h，总路程为40km，列方程：$3x + 2y = 40$。
2. 分两种情况讨论2.5h后两人相距5km的条件：
情况1：两人尚未相遇，总路程为$40-5=35\ \mathrm{km}$，列方程：$2.5(x+y)=35$，即$x+y=14$。
联立$\begin{cases}3x+2y=40 \\ x+y=14 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=12 \\ y=2 \end{cases}$，甲从A到B的时间为$\frac{40}{12}=\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$。
情况2：两人相遇后错开，总路程为$40+5=45\ \mathrm{km}$，列方程：$2.5(x+y)=45$，即$x+y=18$。
联立$\begin{cases}3x+2y=40 \\ x+y=18 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4 \\ y=14 \end{cases}$，甲从A到B的时间为$\frac{40}{4}=10\ \mathrm{h}$。
因此甲由A地到B地需要$\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$或$10\ \mathrm{h}$。
13.某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示（火车、汽车都满载）：
| 批次 | 所用火车车皮数量/节 | 所用汽车数量/辆 | 运输物资总量/t |
| ---- | -------------------- | ---------------- | -------------- |
| 第一批 | 2 |
5 | 130 |
| 第二批 | 4 | 3 | 218 |
则每节火车车皮和每辆汽车分别装物资的吨数是（）
A.40，5
B.50，6
C.50，4
D.45，7
| 批次 | 所用火车车皮数量/节 | 所用汽车数量/辆 | 运输物资总量/t |
| ---- | -------------------- | ---------------- | -------------- |
| 第一批 | 2 |
5 | 130 || 第二批 | 4 | 3 | 218 |
则每节火车车皮和每辆汽车分别装物资的吨数是（）
A.40，5
B.50，6
C.50，4
D.45，7
答案
B
解析
设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}2x+5y=130\\4x+3y=218\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得$4x+10y=260$，用该式减去第二个方程，得$7y=42$，解得$y=6$。
把$y=6$代入$2x+5y=130$，得$2x+30=130$，解得$x=50$。
因此每节火车车皮装50吨，每辆汽车装6吨。
$\begin{cases}2x+5y=130\\4x+3y=218\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得$4x+10y=260$，用该式减去第二个方程，得$7y=42$，解得$y=6$。
把$y=6$代入$2x+5y=130$，得$2x+30=130$，解得$x=50$。
因此每节火车车皮装50吨，每辆汽车装6吨。
