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9 分类讨论思想 数轴上表示数a和数b的两点之间的距离为6.如果a的相反数是2，那么b的值是
（
A.4
B.－4
C.－8
D.4或－8
（
D
）A.4
B.－4
C.－8
D.4或－8
答案
9. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件“a的相反数是2”入手，根据相反数的定义先求出a的值；再结合数轴上两点之间的距离等于两点对应数的差的绝对值，列出关于b的绝对值方程；最后根据绝对值的性质分类讨论求解，注意不要漏解。
【解析】
第一步：求a的值
∵a的相反数是2，根据相反数的定义，互为相反数的两个数和为0，
∴a = -2。
第二步：根据数轴两点距离列方程
数轴上表示a和b的两点距离为6，根据数轴两点距离公式可得：|b - a| = 6，将a=-2代入得：|b - (-2)| = 6，即|b + 2| = 6。
第三步：分类讨论解绝对值方程
绝对值等于6的数有6和-6，因此分两种情况：
①当b + 2 = 6时，解得b = 6 - 2 = 4；
②当b + 2 = -6时，解得b = -6 - 2 = -8。
综上，b的值为4或-8，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相反数的定义、数轴两点距离、绝对值的性质
【点评】
本题侧重考察分类讨论思想的运用，求解绝对值方程时需注意绝对值为正数的对应两个取值，避免遗漏其中一种情况导致错选。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“a的相反数是2”入手，根据相反数的定义先求出a的值；再结合数轴上两点之间的距离等于两点对应数的差的绝对值，列出关于b的绝对值方程；最后根据绝对值的性质分类讨论求解，注意不要漏解。
【解析】
第一步：求a的值
∵a的相反数是2，根据相反数的定义，互为相反数的两个数和为0，
∴a = -2。
第二步：根据数轴两点距离列方程
数轴上表示a和b的两点距离为6，根据数轴两点距离公式可得：|b - a| = 6，将a=-2代入得：|b - (-2)| = 6，即|b + 2| = 6。
第三步：分类讨论解绝对值方程
绝对值等于6的数有6和-6，因此分两种情况：
①当b + 2 = 6时，解得b = 6 - 2 = 4；
②当b + 2 = -6时，解得b = -6 - 2 = -8。
综上，b的值为4或-8，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相反数的定义、数轴两点距离、绝对值的性质
【点评】
本题侧重考察分类讨论思想的运用，求解绝对值方程时需注意绝对值为正数的对应两个取值，避免遗漏其中一种情况导致错选。
【难度系数】
0.7
10 若－a是负数，则a一定是
正
数。答案
10. 正
解析
【分析】
要判断a的正负，可结合相反数的性质思考：首先，-a是a的相反数，已知-a是负数，我们可以回忆不同类型数的相反数的特点：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。现在-a是负数，说明它的相反数a就是正数。
【解析】
已知-a是负数，根据相反数的性质：负数的相反数是正数，而a是-a的相反数，因此a一定是正数。
【答案】
正
【知识点】
相反数的性质；正负数的判定
【点评】
本题考查对相反数相关性质的基础应用，理解互为相反数的两个数的符号对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断a的正负，可结合相反数的性质思考：首先，-a是a的相反数，已知-a是负数，我们可以回忆不同类型数的相反数的特点：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。现在-a是负数，说明它的相反数a就是正数。
【解析】
已知-a是负数，根据相反数的性质：负数的相反数是正数，而a是-a的相反数，因此a一定是正数。
【答案】
正
【知识点】
相反数的性质；正负数的判定
【点评】
本题考查对相反数相关性质的基础应用，理解互为相反数的两个数的符号对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
11（易错题）
(1) 若$a=2.5$，则$-a=$
(2) 若$-a=\frac{1}{4}$，则$a=$
(3) 若$-(-a)=10$，则$-a=$
(4) 若$a=-(+5)$，则$-a=$
(1) 若$a=2.5$，则$-a=$
-2.5
；(2) 若$-a=\frac{1}{4}$，则$a=$
$-\dfrac{1}{4}$
；(3) 若$-(-a)=10$，则$-a=$
-10
；(4) 若$a=-(+5)$，则$-a=$
5
。答案
11. (1) $-2.5$ (2) $-\dfrac{1}{4}$ (3) $-10$ (4) $5$
解析
【分析】
本题考查相反数的相关计算，解题核心是掌握相反数的定义与多重符号化简规则：①只有符号不同的两个数互为相反数，数a的相反数记作-a，求一个数的相反数只需在这个数前面添加负号即可；②多重符号化简遵循“奇负偶正”规则，即负号的个数为奇数时结果为负，负号的个数为偶数时结果为正。
逐个小题的解题思路：
(1)已知a的取值，直接求a的相反数即可得到-a的值；
(2)已知-a的取值，a是-a的相反数，求-a的相反数即可得到a的值；
(3)先利用多重符号化简规则化简-(-a)得到a的取值，再求a的相反数得到-a的值；
(4)先利用多重符号化简规则求出a的取值，再求a的相反数得到-a的值。
【解析】
(1) 已知$a=2.5$，根据相反数的定义，$-a$是$a$的相反数，因此$-a=-2.5$；
(2) 已知$-a=\frac{1}{4}$，$a$是$-a$的相反数，因此$a=-\frac{1}{4}$；
(3) 先化简$-(-a)$，负号个数为2（偶数），根据“奇负偶正”得$-(-a)=a=10$，因此$-a$是10的相反数，即$-a=-10$；
(4) 先化简$a=-(+5)$，负号个数为1（奇数），根据“奇负偶正”得$a=-5$，因此$-a$是-5的相反数，即$-a=5$。
【答案】
(1) $-2.5$ (2) $-\dfrac{1}{4}$ (3) $-10$ (4) $5$
【知识点】
相反数的定义，多重符号化简
【点评】
本题属于相反数的基础应用题型，重点考查对相反数概念的理解和多重符号化简规则的运用，易错点是多重符号化简时误判负号个数，或是混淆原数与相反数的对应关系。
【难度系数】
0.75
本题考查相反数的相关计算，解题核心是掌握相反数的定义与多重符号化简规则：①只有符号不同的两个数互为相反数，数a的相反数记作-a，求一个数的相反数只需在这个数前面添加负号即可；②多重符号化简遵循“奇负偶正”规则，即负号的个数为奇数时结果为负，负号的个数为偶数时结果为正。
逐个小题的解题思路：
(1)已知a的取值，直接求a的相反数即可得到-a的值；
(2)已知-a的取值，a是-a的相反数，求-a的相反数即可得到a的值；
(3)先利用多重符号化简规则化简-(-a)得到a的取值，再求a的相反数得到-a的值；
(4)先利用多重符号化简规则求出a的取值，再求a的相反数得到-a的值。
【解析】
(1) 已知$a=2.5$，根据相反数的定义，$-a$是$a$的相反数，因此$-a=-2.5$；
(2) 已知$-a=\frac{1}{4}$，$a$是$-a$的相反数，因此$a=-\frac{1}{4}$；
(3) 先化简$-(-a)$，负号个数为2（偶数），根据“奇负偶正”得$-(-a)=a=10$，因此$-a$是10的相反数，即$-a=-10$；
(4) 先化简$a=-(+5)$，负号个数为1（奇数），根据“奇负偶正”得$a=-5$，因此$-a$是-5的相反数，即$-a=5$。
【答案】
(1) $-2.5$ (2) $-\dfrac{1}{4}$ (3) $-10$ (4) $5$
【知识点】
相反数的定义，多重符号化简
【点评】
本题属于相反数的基础应用题型，重点考查对相反数概念的理解和多重符号化简规则的运用，易错点是多重符号化简时误判负号个数，或是混淆原数与相反数的对应关系。
【难度系数】
0.75
12 已知$+(-\dfrac{5}{3})$的相反数是$x$，$-(+3)$的相反数是$y$，$z$的相反数是0，则$x+y+z$的相反数是
$-\dfrac{14}{3}$
。答案
12. $-\dfrac{14}{3}$
解析
【分析】
解题时首先明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。解题可分四步走：第一步先化简题目中含多重符号的数，第二步根据相反数的定义分别求出x、y、z的取值，第三步计算x+y+z的和，第四步求该和的相反数即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算x的值：
先化简$+(-\dfrac{5}{3})=-\dfrac{5}{3}$，根据相反数的定义，$-\dfrac{5}{3}$的相反数是$\dfrac{5}{3}$，因此$x=\dfrac{5}{3}$；
2. 计算y的值：
先化简$-(+3)=-3$，根据相反数的定义，$-3$的相反数是$3$，因此$y=3$；
3. 计算z的值：
已知z的相反数是0，因此$z=0$；
4. 计算$x+y+z$的值：
$x+y+z=\dfrac{5}{3}+3+0=\dfrac{5}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{14}{3}$；
5. 求$x+y+z$的相反数：
$\dfrac{14}{3}$的相反数为$-\dfrac{14}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{14}{3}$
【知识点】
相反数的定义；多重符号化简；有理数加法
【点评】
本题是相反数的基础应用题型，解题核心是准确化简多重符号，再结合相反数的性质求出对应未知数，计算时要注意审题，明确最终所求为x+y+z的相反数，避免因粗心漏看要求失分。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。解题可分四步走：第一步先化简题目中含多重符号的数，第二步根据相反数的定义分别求出x、y、z的取值，第三步计算x+y+z的和，第四步求该和的相反数即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算x的值：
先化简$+(-\dfrac{5}{3})=-\dfrac{5}{3}$，根据相反数的定义，$-\dfrac{5}{3}$的相反数是$\dfrac{5}{3}$，因此$x=\dfrac{5}{3}$；
2. 计算y的值：
先化简$-(+3)=-3$，根据相反数的定义，$-3$的相反数是$3$，因此$y=3$；
3. 计算z的值：
已知z的相反数是0，因此$z=0$；
4. 计算$x+y+z$的值：
$x+y+z=\dfrac{5}{3}+3+0=\dfrac{5}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{14}{3}$；
5. 求$x+y+z$的相反数：
$\dfrac{14}{3}$的相反数为$-\dfrac{14}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{14}{3}$
【知识点】
相反数的定义；多重符号化简；有理数加法
【点评】
本题是相反数的基础应用题型，解题核心是准确化简多重符号，再结合相反数的性质求出对应未知数，计算时要注意审题，明确最终所求为x+y+z的相反数，避免因粗心漏看要求失分。
【难度系数】
0.7
13 如图,在数轴上标出表示已知各数的相反数的点.
答案
13. 如图所示
解析
【分析】
解题时先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。首先找出原题数轴上标注的3个已知数：-2.5、-0.5、2，分别求出这三个数的相反数，再结合数轴的刻度特征，找到各相反数对应的位置，标注出对应点即可完成解答。
【解析】
1. 先确定原数轴上的已知数：-2.5、-0.5、2；
2. 根据相反数的定义，分别计算各数的相反数：
-2.5的相反数是2.5；
-0.5的相反数是0.5；
2的相反数是-2；
3. 在数轴上找对应位置标注点：-2对应数轴上-2的刻度点，0.5对应0和1的中点，2.5对应2和3的中点，标注完成即得到所求图形。
【答案】
如图所示
【知识点】
1. 相反数的定义
2. 数轴上表示数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对相反数概念的理解，以及在数轴上规范标注数的能力，熟练掌握相反数的求法即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。首先找出原题数轴上标注的3个已知数：-2.5、-0.5、2，分别求出这三个数的相反数，再结合数轴的刻度特征，找到各相反数对应的位置，标注出对应点即可完成解答。
【解析】
1. 先确定原数轴上的已知数：-2.5、-0.5、2；
2. 根据相反数的定义，分别计算各数的相反数：
-2.5的相反数是2.5；
-0.5的相反数是0.5；
2的相反数是-2；
3. 在数轴上找对应位置标注点：-2对应数轴上-2的刻度点，0.5对应0和1的中点，2.5对应2和3的中点，标注完成即得到所求图形。
【答案】
如图所示
【知识点】
1. 相反数的定义
2. 数轴上表示数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对相反数概念的理解，以及在数轴上规范标注数的能力，熟练掌握相反数的求法即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
14 如图，点A表示－4，点B，C表示的数互为相反数，请标出数轴上的原点O和点C，并指出B，C两点表示的数（图中1格表示1个单位长度）。
（第14题）
（第14题）答案
14. 如图所示 点B表示5,点C表示－5
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件：点A表示-4、数轴每格代表1个单位长度，先确定原点O的位置：原点表示0，-4向右移动4个单位长度就是0，因此在A点右侧4格处标出原点O；接着数出B点到原点的距离，结合数轴向右为正方向，得到B点表示的数；最后根据互为相反数的两个数到原点的距离相等、符号相反，在原点左侧与B到原点距离相同的位置标出C点，即可得到C表示的数。
【解析】
1. 确定原点O：已知点A表示-4，数轴每格为1个单位长度，0比-4大4，因此从A点向右数4个格，该位置就是原点O，标注O和0。
2. 求B点表示的数：观察B点在原点O右侧，距离O点共5个单位长度，数轴向右为正方向，因此点B表示的数是5。
3. 求C点表示的数并标注C：因为B、C表示的数互为相反数，互为相反数的两个数符号相反、到原点的距离相等，所以C点在原点O左侧，距离O点5个单位长度，因此C表示的数是-5，在对应位置标注C即可。
【答案】
如图所示 点B表示5,点C表示－5
【知识点】
数轴的认识；相反数的定义
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是先根据已知点的数值确定原点位置，再结合相反数的性质确定未知点对应的数，掌握数轴和相反数的基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合已知条件：点A表示-4、数轴每格代表1个单位长度，先确定原点O的位置：原点表示0，-4向右移动4个单位长度就是0，因此在A点右侧4格处标出原点O；接着数出B点到原点的距离，结合数轴向右为正方向，得到B点表示的数；最后根据互为相反数的两个数到原点的距离相等、符号相反，在原点左侧与B到原点距离相同的位置标出C点，即可得到C表示的数。
【解析】
1. 确定原点O：已知点A表示-4，数轴每格为1个单位长度，0比-4大4，因此从A点向右数4个格，该位置就是原点O，标注O和0。
2. 求B点表示的数：观察B点在原点O右侧，距离O点共5个单位长度，数轴向右为正方向，因此点B表示的数是5。
3. 求C点表示的数并标注C：因为B、C表示的数互为相反数，互为相反数的两个数符号相反、到原点的距离相等，所以C点在原点O左侧，距离O点5个单位长度，因此C表示的数是-5，在对应位置标注C即可。
【答案】
如图所示 点B表示5,点C表示－5
【知识点】
数轴的认识；相反数的定义
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是先根据已知点的数值确定原点位置，再结合相反数的性质确定未知点对应的数，掌握数轴和相反数的基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
15 数形结合思想 表示数a的点在数轴上的位置如图所示.
(1) 在数轴上标出表示数a的相反数的点的位置.
(2) 若表示数a的点向右移动10个单位长度得到表示它的相反数的点,则a的值是多少?
(3) 若表示数a与其相反数的两点相距20个单位长度,则a的值是多少?
(4) 在(3)的条件下,若表示数b的点与表示数a的相反数的点相距5个单位长度,则b的值是多少?
(1) 在数轴上标出表示数a的相反数的点的位置.
(2) 若表示数a的点向右移动10个单位长度得到表示它的相反数的点,则a的值是多少?
(3) 若表示数a与其相反数的两点相距20个单位长度,则a的值是多少?
(4) 在(3)的条件下,若表示数b的点与表示数a的相反数的点相距5个单位长度,则b的值是多少?
答案
15. (1) 如图所示
(2) $-5$ (3) $-10$ (4) $5$或$15$解析
【分析】
解题时结合数轴的性质和相反数的定义思考：
1. 第一问：互为相反数的两个数对应的点关于原点对称，即到原点距离相等、分别在原点两侧，据此即可标出$-a$的位置。
2. 第二问：数轴上点向右移动$n$个单位，对应数加$n$，移动后得到的数是$a$的相反数，据此列等式即可求解$a$。
3. 第三问：数轴上两点的距离等于右侧点对应的数减去左侧点对应的数，$a$在原点左侧、$-a$在原点右侧，二者距离是20，列等式求解即可。
4. 第四问：与某点相距5个单位的点有两种情况，分别在该点的左侧和右侧，分情况计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点在原点两侧，且到原点的距离相等，据此在原点右侧标出与$a$到原点距离相等的点，即为表示$-a$的点。
(2) 点向右移动10个单位长度，对应数值加10，由题意得：
$a + 10 = -a$
移项得$2a = -10$
解得$a = -5$
(3) 因为$a＜0$，所以$-a＞0$，$a$与$-a$两点的距离为$-a - a$，由题意得：
$-a -a =20$
即$-2a=20$
解得$a=-10$
(4) 由(3)可知$a$的相反数是10，若$b$在10的左侧，则$b=10-5=5$；若$b$在10的右侧，则$b=10+5=15$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $-5$
(3) $-10$
(4) $5$或$15$
【知识点】
相反数的性质；数轴上点的平移；数轴上两点距离
【点评】
本题结合数轴考查相反数的相关知识，重点运用数形结合思想解题，求解距离类问题时要注意分点在已知点左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时结合数轴的性质和相反数的定义思考：
1. 第一问：互为相反数的两个数对应的点关于原点对称，即到原点距离相等、分别在原点两侧，据此即可标出$-a$的位置。
2. 第二问：数轴上点向右移动$n$个单位，对应数加$n$，移动后得到的数是$a$的相反数，据此列等式即可求解$a$。
3. 第三问：数轴上两点的距离等于右侧点对应的数减去左侧点对应的数，$a$在原点左侧、$-a$在原点右侧，二者距离是20，列等式求解即可。
4. 第四问：与某点相距5个单位的点有两种情况，分别在该点的左侧和右侧，分情况计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点在原点两侧，且到原点的距离相等，据此在原点右侧标出与$a$到原点距离相等的点，即为表示$-a$的点。
(2) 点向右移动10个单位长度，对应数值加10，由题意得：
$a + 10 = -a$
移项得$2a = -10$
解得$a = -5$
(3) 因为$a＜0$，所以$-a＞0$，$a$与$-a$两点的距离为$-a - a$，由题意得：
$-a -a =20$
即$-2a=20$
解得$a=-10$
(4) 由(3)可知$a$的相反数是10，若$b$在10的左侧，则$b=10-5=5$；若$b$在10的右侧，则$b=10+5=15$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $-5$
(3) $-10$
(4) $5$或$15$
【知识点】
相反数的性质；数轴上点的平移；数轴上两点距离
【点评】
本题结合数轴考查相反数的相关知识，重点运用数形结合思想解题，求解距离类问题时要注意分点在已知点左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
