6.如果一组数据$a_1,a_2,a_3,a_4,···,a_n$的方差为0，那么 （）

A.$\bar{a}=0$
B.$a_1=a_2=···=a_n=0$
C.$a_1=a_2=a_3=···=a_n$
D.这组数据的中位数为0

C

根据方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(a_1-\bar{a})^2+(a_2-\bar{a})^2+\dots+(a_n-\bar{a})^2]$，若方差为0，由于平方项均非负，则每一个$(a_i-\bar{a})^2$都为0，即所有数据都等于平均数，也就是所有数据彼此相等。逐一判断选项：A. 若所有数据都是2，方差为0，但平均数$\bar{a}=2≠0$，错误；B. 若所有数据都是2，方差为0，所有数都不为0，错误；C. 所有数据相等，符合推导结论，正确；D. 若所有数据都是2，方差为0，中位数为2≠0，错误。

7.某校一年级学生的平均年龄为7岁，方差为3，则五年以后该校六年级的学生的
（）

A.平均年龄为7岁，方差改变
B.平均年龄为12岁，方差不变
C.平均年龄为12岁，方差改变
D.平均年龄不变，方差不变

B

设一年级学生的年龄为$x_1,x_2,\dots,x_n$，由题意得原平均年龄$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=7$，原方差$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-7)^2=3$。
五年后每个学生年龄变为$x_i+5$，新平均年龄$\bar{x}'=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i+5)=\bar{x}+5=7+5=12$岁；
新方差$s'^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[(x_i+5)-12]^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-7)^2=3$，方差不变。
因此五年后平均年龄为12岁，方差不变。

8.如果一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差是2，那么新的一组数据$2x_1+1,2x_2+1,2x_3+1,\dots,2x_n+1$的方差是（）

A.12
B.2
C.4
D.8

D

设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则新数据$2x_1+1,2x_2+1,\dots,2x_n+1$的平均数为$2\overline{x}+1$。
已知原数据方差$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2=2$，
新数据的方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[(2x_i+1)-(2\overline{x}+1)]^2\\&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[2(x_i-\overline{x})]^2\\&=\frac{4}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\\&=4× s^2=4×2=8\end{aligned}$

9.现有一组数据:106,113,96,98,100,102,104,112.则上四分位数是 ()

A.113
B.112
C.106
D.109

D

第一步，先将给定数据从小到大重新排序：96，98，100，102，104，106，112，113。
第二步，数据总个数n=8，上四分位数即75%分位数，计算位置：$8×75\%=6$。
第三步，当计算得到的位置为整数时，上四分位数等于第6项和第7项数据的平均值：$\frac{106+112}{2}=109$。

10. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93. 这组数据中第一四分位数是 （）

A.102.5
B.168
C.124
D.150

C

①先将这组数据从小到大排序：93，112，136，145，155，165，171，182；
②数据总个数n=8，计算第一四分位数的位置：$8×25\%=2$，结果为整数，因此第一四分位数是排序后第2项和第3项数据的平均数，即$\frac{112+136}{2}=124$。

11.某班4名学生的语文成绩为85,88,85,92(单位:分).若将其分成{85,88}和{85,92}两组,则{85,88}的组内离差平方和为（）

A.2
B.4.5
C.6
D.9

B

首先计算数组{85,88}的平均数：$\bar{x}=\frac{85+88}{2}=86.5$，根据组内离差平方和的定义，计算每个数据与本组平均数的差的平方之和：$(85-86.5)^2+(88-86.5)^2=(-1.5)^2+1.5^2=2.25+2.25=4.5$。

12.某班5名学生的数学成绩如下:75,78,78,81,84(单位:分).将数据分成两组,若一组为{78,78},则另一组的组内离差平方和为 ()

A.42
B.46.8
C.30
D.0

A

由题意得另一组数据为75，81，84，先计算该组数据的平均数：$\bar{x}=\frac{75+81+84}{3}=80$，再计算组内离差平方和：$(75-80)^2+(81-80)^2+(84-80)^2=25+1+16=42$。

13.某超市5天的水果销量为12,15,12,18,21(单位:kg).按组内离差平方和最小的原则分组(每组至少2个数据),最优分组是 （）

A.{12,15}和{12,18,21}
B.{12,12}和{15,18,21}
C.{21,18}和{12,15,12}
D.{15,18|和{12,12,21}

C

分别计算各选项的总组内离差平方和：
1. 选项A：第一组{12,15}平均数为13.5，离差平方和=(12-13.5)²+(15-13.5)²=4.5；第二组{12,18,21}平均数为17，离差平方和=(12-17)²+(18-17)²+(21-17)²=42；总和为4.5+42=46.5。
2. 选项B：第一组{12,12}平均数为12，离差平方和=(12-12)²+(12-12)²=0；第二组{15,18,21}平均数为18，离差平方和=(15-18)²+(18-18)²+(21-18)²=18；总和为0+18=18。
3. 选项C：第一组{21,18}平均数为19.5，离差平方和=(21-19.5)²+(18-19.5)²=4.5；第二组{12,15,12}平均数为13，离差平方和=(12-13)²+(15-13)²+(12-13)²=6；总和为4.5+6=10.5。
4. 选项D：第一组{15,18}平均数为16.5，离差平方和=(15-16.5)²+(18-16.5)²=4.5；第二组{12,12,21}平均数为15，离差平方和=(12-15)²+(12-15)²+(21-15)²=54；总和为4.5+54=58.5。
对比得10.5＜18＜46.5＜58.5，选项C的总组内离差平方和最小，为最优分组。

14.已知数据2，x，5，8的平均数为5，则x=。这组数据的离差平方和为。

$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{18}$

解：
根据平均数的计算公式：
$\frac{2+x+5+8}{4}=5$
整理得：$15+x=20$
解得：$x=5$
这组数据的离差平方和为：
$(2-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(8-5)^2$
$=9+0+0+9$
$=18$

15.某校今年春季开展体操比赛，小明收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员（各50名）的身高，得到：平均身高（单位：cm）分别为$\overline{x}_甲=160$，$\overline{x}_乙=160$，方差（单位：$cm^2$）分别为$s^2_甲=1.5$，$s^2_乙=2.8$。现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择（填“甲队”或“乙队”）。

甲队。

解：
$\because s^2_甲=1.5$，$s^2_乙=2.8$，
$\therefore s^2_甲 ＜ s^2_乙$，
方差越小，数据的波动越小，对应队员的身高越整齐，因此甲队身高更整齐。