登录
7. 科学课上，同学们分组做物体的沉浮实验。如下图，一个长 $8$ 分米、宽 $4$ 分米、高 $7$ 分米的长方体玻璃水槽中装有一些水，小航放入 $4$ 个同样大的小球后，水面上升了 $0.6$ 分米。每个小球的体积是多少立方分米？
答案
8×4×0.6÷4=8×0.6=4.8（立方分米）
答：每个小球的体积是4.8立方分米。
答：每个小球的体积是4.8立方分米。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“排水法”的思路：当小球放入水中后，水面上升的那部分水的体积，就等于4个小球的总体积。首先我们需要根据长方体体积公式算出上升的水的体积，也就是4个小球的总体积，再将总体积除以小球的数量4，就能得到每个小球的体积。具体步骤为：先确定上升的水是一个长8分米、宽4分米、高0.6分米的长方体，计算其体积，再平均分给4个小球。
【解析】
1. 计算4个小球的总体积，即上升的水的体积：
根据长方体体积公式 $ V = 长×宽×高 $，可得：
$ 8×4×0.6 = 19.2 $（立方分米）
2. 计算每个小球的体积：
将总体积除以小球数量4，即：
$ 19.2÷4 = 4.8 $（立方分米）
也可以列综合算式：
$ 8×4×0.6÷4 = 8×0.6 = 4.8 $（立方分米）
答：每个小球的体积是4.8立方分米。
【答案】
4.8立方分米
【知识点】
排水法求体积，长方体体积计算
【点评】
本题考查排水法在求不规则物体体积中的应用，核心是理解“水面上升部分的体积等于放入物体的总体积”，需要熟练运用长方体体积公式进行计算，题目贴近实验场景，有助于理解体积的转化思想。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以利用“排水法”的思路：当小球放入水中后，水面上升的那部分水的体积，就等于4个小球的总体积。首先我们需要根据长方体体积公式算出上升的水的体积，也就是4个小球的总体积，再将总体积除以小球的数量4，就能得到每个小球的体积。具体步骤为：先确定上升的水是一个长8分米、宽4分米、高0.6分米的长方体，计算其体积，再平均分给4个小球。
【解析】
1. 计算4个小球的总体积，即上升的水的体积：
根据长方体体积公式 $ V = 长×宽×高 $，可得：
$ 8×4×0.6 = 19.2 $（立方分米）
2. 计算每个小球的体积：
将总体积除以小球数量4，即：
$ 19.2÷4 = 4.8 $（立方分米）
也可以列综合算式：
$ 8×4×0.6÷4 = 8×0.6 = 4.8 $（立方分米）
答：每个小球的体积是4.8立方分米。
【答案】
4.8立方分米
【知识点】
排水法求体积，长方体体积计算
【点评】
本题考查排水法在求不规则物体体积中的应用，核心是理解“水面上升部分的体积等于放入物体的总体积”，需要熟练运用长方体体积公式进行计算，题目贴近实验场景，有助于理解体积的转化思想。
【难度系数】
0.7
8. 亮亮家买了一台长方体柜式空调，长 $5$ 分米，宽 $3$ 分米，高 $17$ 分米。
(1) 妈妈做了一个布罩(没有底面)，一共用了多少平方分米的布？(缝合处忽略不计)
(2) 要在每个面的缝合处及底边都包上花边，一共要用多少米的花边？
(1) 妈妈做了一个布罩(没有底面)，一共用了多少平方分米的布？(缝合处忽略不计)
(2) 要在每个面的缝合处及底边都包上花边，一共要用多少米的花边？
答案
5×3+5×17×2+3×17×2=15+170+102=287（平方分米）
答：一共用了287平方分米的布。
(5+3+17)×4=25×4=100（分米）
100分米=10米
答：一共要用10米的花边。
答：一共用了287平方分米的布。
(5+3+17)×4=25×4=100（分米）
100分米=10米
答：一共要用10米的花边。
解析
【分析】
(1) 要解决布罩用布面积的问题，首先明确布罩无底面，需计算长方体5个面的面积和。这5个面包含1个长×宽的顶面，以及2个长×高、2个宽×高的侧面，将这些面的面积相加即可得到总用布量。
(2) 缝合处及底边包花边，本质是求长方体的棱长总和。长方体有12条棱，分为4条长、4条宽、4条高，先算出一组长、宽、高的和，再乘4得到总长度，最后进行分米到米的单位换算。
【解析】
(1) 计算布罩的面积：
顶面面积：$5×3=15$（平方分米）
两个长×高的侧面面积：$5×17×2=170$（平方分米）
两个宽×高的侧面面积：$3×17×2=102$（平方分米）
总用布面积：$15+170+102=287$（平方分米）
答：一共用了287平方分米的布。
(2) 计算花边长度：
一组长、宽、高的和：$5+3+17=25$（分米）
长方体棱长总和：$25×4=100$（分米）
单位换算：$100$分米$=10$米
答：一共要用10米的花边。
【答案】
(1) 287平方分米；(2) 10米
【知识点】
长方体表面积计算、长方体棱长总和计算、长度单位换算
【点评】
本题属于长方体特征的实际应用，解题关键是结合实际需求确定计算的面或棱的范围，同时要注意单位换算的准确性，避免出错。
【难度系数】
0.6
(1) 要解决布罩用布面积的问题，首先明确布罩无底面，需计算长方体5个面的面积和。这5个面包含1个长×宽的顶面，以及2个长×高、2个宽×高的侧面，将这些面的面积相加即可得到总用布量。
(2) 缝合处及底边包花边，本质是求长方体的棱长总和。长方体有12条棱，分为4条长、4条宽、4条高，先算出一组长、宽、高的和，再乘4得到总长度，最后进行分米到米的单位换算。
【解析】
(1) 计算布罩的面积：
顶面面积：$5×3=15$（平方分米）
两个长×高的侧面面积：$5×17×2=170$（平方分米）
两个宽×高的侧面面积：$3×17×2=102$（平方分米）
总用布面积：$15+170+102=287$（平方分米）
答：一共用了287平方分米的布。
(2) 计算花边长度：
一组长、宽、高的和：$5+3+17=25$（分米）
长方体棱长总和：$25×4=100$（分米）
单位换算：$100$分米$=10$米
答：一共要用10米的花边。
【答案】
(1) 287平方分米；(2) 10米
【知识点】
长方体表面积计算、长方体棱长总和计算、长度单位换算
【点评】
本题属于长方体特征的实际应用，解题关键是结合实际需求确定计算的面或棱的范围，同时要注意单位换算的准确性，避免出错。
【难度系数】
0.6
9. 如图，长方体的长是 $12$ 厘米，高是 $8$ 厘米，阴影部分两个面的面积和是 $180$ 平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？
答案
180÷(12+8)=9（厘米）
12×9×8=864（立方厘米）
答：这个长方体的体积是864立方厘米。
12×9×8=864（立方厘米）
答：这个长方体的体积是864立方厘米。
解析
【分析】
首先，观察图形可知，阴影部分的两个面分别是“长×宽”的底面和“高×宽”的侧面，这两个面都包含长方体的宽。我们可以利用乘法分配律，将两个面的面积和转化为（长+高）×宽，由此先求出长方体的宽，再代入长方体体积公式计算体积。
【解析】
1. 计算长方体的宽：
阴影部分两个面的面积和可表示为$\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{高}×\mathrm{宽}=(\mathrm{长}+\mathrm{高})×\mathrm{宽}$，因此宽 = 阴影部分面积和÷(长+高)
代入数据：$180÷(12+8)=9$（厘米）
2. 计算长方体的体积：
根据长方体体积公式$V=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，代入数据：
$12×9×8=864$（立方厘米）
答：这个长方体的体积是864立方厘米。
【答案】
864立方厘米
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 长方形面积计算
【点评】
本题需要结合长方体面的特征，找到阴影部分两个面的共同边长（宽），通过面积和求出宽，再运用体积公式求解，考察了对长方体面与体积知识的综合运用能力，需要学生具备一定的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
首先，观察图形可知，阴影部分的两个面分别是“长×宽”的底面和“高×宽”的侧面，这两个面都包含长方体的宽。我们可以利用乘法分配律，将两个面的面积和转化为（长+高）×宽，由此先求出长方体的宽，再代入长方体体积公式计算体积。
【解析】
1. 计算长方体的宽：
阴影部分两个面的面积和可表示为$\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{高}×\mathrm{宽}=(\mathrm{长}+\mathrm{高})×\mathrm{宽}$，因此宽 = 阴影部分面积和÷(长+高)
代入数据：$180÷(12+8)=9$（厘米）
2. 计算长方体的体积：
根据长方体体积公式$V=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，代入数据：
$12×9×8=864$（立方厘米）
答：这个长方体的体积是864立方厘米。
【答案】
864立方厘米
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 长方形面积计算
【点评】
本题需要结合长方体面的特征，找到阴影部分两个面的共同边长（宽），通过面积和求出宽，再运用体积公式求解，考察了对长方体面与体积知识的综合运用能力，需要学生具备一定的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
10. 刘爷爷准备用总长 $12$ 分米的 $3$ 根钢筋在墙角处搭一个正方体形状的鸡圈(如图)，如果露在外面的面用塑料网包裹，至少需要多少平方分米塑料网？
答案
12÷3=4（分米）
4×4×3=48（平方分米）
答：至少需要48平方分米塑料网。
4×4×3=48（平方分米）
答：至少需要48平方分米塑料网。
解析
【分析】
首先，要明确在墙角搭建正方体鸡圈时，3根钢筋对应正方体的3条棱，因为墙角的三个方向分别对应正方体的长、宽、高，且正方体所有棱长相等。已知3根钢筋总长12分米，先求出正方体的棱长；其次，墙角处的正方体露在外面的是3个完全相同的正方形面，用单个面的面积乘以3即可得到所需塑料网的总面积。
【解析】
1. 求正方体的棱长：
3根钢筋总长12分米，对应正方体的3条棱，由于正方体棱长相等，所以棱长为 $12÷3 = 4$（分米）。
2. 计算露在外面的面的总面积：
每个面是边长为4分米的正方形，单个面的面积为 $4×4 = 16$（平方分米），露在外面的共3个面，因此总面积为 $16×3 = 48$（平方分米）。
综合算式：$4×4×3 = 48$（平方分米）
答：至少需要48平方分米塑料网。
【答案】
48平方分米
【知识点】
正方体棱长计算、正方体部分表面积计算、立体图形实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查正方体的棱长与表面积知识，需要学生具备空间想象能力，明确墙角处正方体露在外面的面的数量，核心是先根据钢筋总长求出棱长，再计算3个面的总面积，提升知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
首先，要明确在墙角搭建正方体鸡圈时，3根钢筋对应正方体的3条棱，因为墙角的三个方向分别对应正方体的长、宽、高，且正方体所有棱长相等。已知3根钢筋总长12分米，先求出正方体的棱长；其次，墙角处的正方体露在外面的是3个完全相同的正方形面，用单个面的面积乘以3即可得到所需塑料网的总面积。
【解析】
1. 求正方体的棱长：
3根钢筋总长12分米，对应正方体的3条棱，由于正方体棱长相等，所以棱长为 $12÷3 = 4$（分米）。
2. 计算露在外面的面的总面积：
每个面是边长为4分米的正方形，单个面的面积为 $4×4 = 16$（平方分米），露在外面的共3个面，因此总面积为 $16×3 = 48$（平方分米）。
综合算式：$4×4×3 = 48$（平方分米）
答：至少需要48平方分米塑料网。
【答案】
48平方分米
【知识点】
正方体棱长计算、正方体部分表面积计算、立体图形实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查正方体的棱长与表面积知识，需要学生具备空间想象能力，明确墙角处正方体露在外面的面的数量，核心是先根据钢筋总长求出棱长，再计算3个面的总面积，提升知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
11. 一种 $A4$ 纸长 $297$ 毫米，宽 $210$ 毫米。将 $100$ 张这种 $A4$ 纸叠起来，量得厚 $1$ 厘米。一张这种 $A4$ 纸的体积大约是多少立方厘米？
答案
297毫米$\approx30$厘米
210毫米$\approx20$厘米
30×20×(1÷100)=600×0.01=6（立方厘米）
答：一张这样的A4纸的体积约是6立方厘米。
210毫米$\approx20$厘米
30×20×(1÷100)=600×0.01=6（立方厘米）
答：一张这样的A4纸的体积约是6立方厘米。
解析
【分析】
要计算一张A4纸的体积，可将每张A4纸看作长方体，根据长方体体积公式：体积=长×宽×高（此处“高”为纸的厚度）。首先需统一单位，题目长、宽单位是毫米，最终求立方厘米，所以先把毫米换算为厘米；因题目要求“大约”体积，可对长、宽进行合理近似。接着，由100张纸厚1厘米，用总厚度除以张数得到一张纸的厚度，最后代入体积公式计算即可。
【解析】
1. 单位换算与近似：
297毫米≈30厘米，210毫米≈20厘米
2. 计算一张纸的厚度：
$1÷100=0.01$（厘米）
3. 计算一张纸的体积：
$30×20×0.01=600×0.01=6$（立方厘米）
答：一张这样的A4纸的体积约是6立方厘米。
【答案】
6立方厘米
【知识点】
长方体体积计算、单位换算、估算取值
【点评】
本题考查长方体体积公式在实际生活中的应用，重点在于单位统一和结合“大约”要求进行合理近似，锻炼学生将数学知识与实际问题结合的能力，强化对体积公式的理解与运用。
【难度系数】
0.8
要计算一张A4纸的体积，可将每张A4纸看作长方体，根据长方体体积公式：体积=长×宽×高（此处“高”为纸的厚度）。首先需统一单位，题目长、宽单位是毫米，最终求立方厘米，所以先把毫米换算为厘米；因题目要求“大约”体积，可对长、宽进行合理近似。接着，由100张纸厚1厘米，用总厚度除以张数得到一张纸的厚度，最后代入体积公式计算即可。
【解析】
1. 单位换算与近似：
297毫米≈30厘米，210毫米≈20厘米
2. 计算一张纸的厚度：
$1÷100=0.01$（厘米）
3. 计算一张纸的体积：
$30×20×0.01=600×0.01=6$（立方厘米）
答：一张这样的A4纸的体积约是6立方厘米。
【答案】
6立方厘米
【知识点】
长方体体积计算、单位换算、估算取值
【点评】
本题考查长方体体积公式在实际生活中的应用，重点在于单位统一和结合“大约”要求进行合理近似，锻炼学生将数学知识与实际问题结合的能力，强化对体积公式的理解与运用。
【难度系数】
0.8
