19. 如图，$∠ B = ∠ C$，$AD // BC$，点$E$在$BA$的延长线上. 求证：$AD$平分$∠ CAE$.

19. $\because AD// BC,\therefore ∠ 1=∠ C,∠ 2=∠ B.\because ∠ B=∠ C,\therefore ∠ 1=∠ 2.\therefore AD$平分$∠ CAE.$

20. 如图，$AB // CD$，$EF$ 交 $AB$ 于点 $G$，交 $CD$ 于点 $F$，$FH$ 平分 $∠ EFD$，交 $AB$ 于点 $H$，$∠ AGE = 50°$。求 $∠ BHF$ 的度数。

20. $\because AB// CD,\therefore ∠ CFG=∠ AGE=50°,∠ BHF+∠ HFD=180°.\therefore ∠ GFD=130°.$又$\because FH$平分$∠ EFD,\therefore ∠ HFD=\frac{1}{2}∠ EFD=65°.\therefore ∠ BHF=180°-∠ HFD=115°.$

21. 小明在工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求$AB// DC$，$∠ BAE=35°$，$∠ AED=90°$.小明发现工人师傅只是量出$∠ BAE=35°$，$∠ AED=90°$后，又量得了$∠ EDC=55°$，于是就断定$AB$与$DC$是平行的.请解释其原因.

21. 如图,过点 E 作直线 $FE// AB$,则$∠ AEF=∠ BAE=35°.\because ∠ AED=90°,$$∠ AEF=35°,\therefore ∠ FED=∠ AED-∠ AEF=90°-35°=55°.\because ∠ EDC=55°,\therefore ∠ FED=∠ EDC.\therefore EF// CD.$又$\because FE// AB,\therefore AB// CD.$

22. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中，$∠ A = 60°$，$∠ D = 30°$，$∠ E = ∠ B = 45°$).
(1) ① 若$∠ DCE = 45°$，则$∠ ACB = \_\_\_\_\_\_°$.
② 若$∠ ACB = 140°$，求$∠ DCE$的度数.
(2) 由(1)猜想$∠ ACB$与$∠ DCE$的数量关系，并说明理由.
(3) 当$∠ ACE ＜ 180°$且点$E$在直线$AC$的上方时，这一副三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出$∠ ACE$所有可能的度数(不必说明理由)；若不存在，请说明理由.

22. (1) ① 135 ② $\because ∠ ACB=140°,∠ ACD=90°,\therefore ∠ DCB=∠ ACB-∠ ACD=140°-90°=50°.\therefore ∠ DCE=∠ BCE-∠ DCB=90°-50°=40°.$
(2) $∠ ACB+∠ DCE=180°.$理由如下:$\because ∠ ACB=∠ ACD+∠ DCB=90°+∠ DCB,\therefore ∠ ACB+∠ DCE=90°+∠ DCB+∠ DCE=90°+90°=180°.$
(3) 存在.当$∠ ACE=30°$时,$AD// CB$;当$∠ ACE=∠ E=45°$时,$AC// EB$;当$∠ ACE=120°$时,$AD// CE$;当$∠ ACE=135°$时,$BE// CD$;当$∠ ACE=165°$时,$BE// AD.$