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8.“任意打开一本154页的九年级数学书，正好翻到第127页”是
随机
(填“随机”或“必然”)事件.答案
8.随机
解析
【分析】
解题时首先要明确不同类型事件的定义：必然事件是一定条件下肯定会发生的事件，不可能事件是一定条件下肯定不会发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件。接下来结合题目情景判断：打开154页的书，翻到的页码可能是1到154中的任意一页，翻到127页这件事有可能发生，也有可能不发生，对应符合随机事件的特征，就能得出结论。
【解析】
我们先明确事件的分类特征：
1. 必然事件：一定条件下必然会发生的事件；
2. 随机事件：一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
本题中，一本154页的书，翻页时可能出现的页码是1~154中的任意一个，“正好翻到第127页”这件事有可能发生，也有可能不发生，因此属于随机事件。
【答案】
随机
【知识点】
事件的分类；随机事件的判断
【点评】
本题属于概率初步的基础题型，核心考查对不同事件类型特征的理解与区分，只要掌握各类事件的定义就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确不同类型事件的定义：必然事件是一定条件下肯定会发生的事件，不可能事件是一定条件下肯定不会发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件。接下来结合题目情景判断：打开154页的书，翻到的页码可能是1到154中的任意一页，翻到127页这件事有可能发生，也有可能不发生，对应符合随机事件的特征，就能得出结论。
【解析】
我们先明确事件的分类特征：
1. 必然事件：一定条件下必然会发生的事件；
2. 随机事件：一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
本题中，一本154页的书，翻页时可能出现的页码是1~154中的任意一个，“正好翻到第127页”这件事有可能发生，也有可能不发生，因此属于随机事件。
【答案】
随机
【知识点】
事件的分类；随机事件的判断
【点评】
本题属于概率初步的基础题型，核心考查对不同事件类型特征的理解与区分，只要掌握各类事件的定义就能快速作答。
【难度系数】
0.9
9.如图,甲转盘平分成两部分,乙转盘平分成四部分,甲、乙两个转盘分别转动一次,最终指针指向红色区域
是
(填“是”或“不是”)可能性事件. 答案
9.是
解析
【分析】
要判断该事件是不是可能性事件，只需判断事件是否存在发生的可能即可。首先观察两个转盘的区域分布：甲转盘红、黑区域各占一半，转动一次指针既可能指向红色，也可能指向黑色；乙转盘红、黑区域各占2份，转动一次指针也存在指向红色的情况。综上可知两个转盘分别转动一次时，有出现指针指向红色区域的可能，据此即可得出结论。
【解析】
首先观察转盘结构：
1. 甲转盘平均分为2份，红色、黑色区域各1份，转动甲转盘时，指针有可能指向红色区域；
2. 乙转盘平均分为4份，红色、黑色区域各2份，转动乙转盘时，指针也有可能指向红色区域。
因此甲、乙两个转盘分别转动一次，存在指针最终指向红色区域的情况，所以该事件是可能性事件。
【答案】
是
【知识点】
事件可能性判断；概率初步认识
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查对可能性事件概念的理解，解题时只需结合转盘的区域占比判断事件是否有发生的可能即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
要判断该事件是不是可能性事件，只需判断事件是否存在发生的可能即可。首先观察两个转盘的区域分布：甲转盘红、黑区域各占一半，转动一次指针既可能指向红色，也可能指向黑色；乙转盘红、黑区域各占2份，转动一次指针也存在指向红色的情况。综上可知两个转盘分别转动一次时，有出现指针指向红色区域的可能，据此即可得出结论。
【解析】
首先观察转盘结构：
1. 甲转盘平均分为2份，红色、黑色区域各1份，转动甲转盘时，指针有可能指向红色区域；
2. 乙转盘平均分为4份，红色、黑色区域各2份，转动乙转盘时，指针也有可能指向红色区域。
因此甲、乙两个转盘分别转动一次，存在指针最终指向红色区域的情况，所以该事件是可能性事件。
【答案】
是
【知识点】
事件可能性判断；概率初步认识
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查对可能性事件概念的理解，解题时只需结合转盘的区域占比判断事件是否有发生的可能即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
10.一个不透明的袋子里装有3个红球、4个黄球和5个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出
红
球的可能性最小。答案
10.红
解析
【分析】
要判断摸出哪种球的可能性最小，首先明确：在袋子中球的总数固定、摸每个球的机会均等的前提下，某种颜色球的数量越少，摸到这种颜色球的可能性就越小。所以解题时只需比较三种颜色球的个数多少，找出数量最少的球即可。
【解析】
已知袋子里红球有3个，黄球有4个，白球有5个，比较三种球的数量可得：$3 ＜ 4 ＜ 5$，红球的数量最少。
因为总球数固定，摸球时每个球被摸到的机会均等，数量越少的球被摸到的可能性越小，所以摸出红球的可能性最小。
【答案】
红
【知识点】
可能性大小比较
【点评】
本题是概率相关的基础题型，核心考查可能性大小与对应物品数量的关系，解题时无需复杂计算，直接比较不同颜色球的数量即可得出结论。
【难度系数】
0.9
要判断摸出哪种球的可能性最小，首先明确：在袋子中球的总数固定、摸每个球的机会均等的前提下，某种颜色球的数量越少，摸到这种颜色球的可能性就越小。所以解题时只需比较三种颜色球的个数多少，找出数量最少的球即可。
【解析】
已知袋子里红球有3个，黄球有4个，白球有5个，比较三种球的数量可得：$3 ＜ 4 ＜ 5$，红球的数量最少。
因为总球数固定，摸球时每个球被摸到的机会均等，数量越少的球被摸到的可能性越小，所以摸出红球的可能性最小。
【答案】
红
【知识点】
可能性大小比较
【点评】
本题是概率相关的基础题型，核心考查可能性大小与对应物品数量的关系，解题时无需复杂计算，直接比较不同颜色球的数量即可得出结论。
【难度系数】
0.9
三、解答题
11.有一个质地均匀的正十二面体,12个面上分别写有1~12这12个整数(每个面只有一个整数且互不相同).投掷这个正十二面体一次,记事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”,记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”,请你判断等式$P(A)=\frac{1}{2}+P(B)$是否成立,并说明理由.
11.有一个质地均匀的正十二面体,12个面上分别写有1~12这12个整数(每个面只有一个整数且互不相同).投掷这个正十二面体一次,记事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”,记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”,请你判断等式$P(A)=\frac{1}{2}+P(B)$是否成立,并说明理由.
答案
11.解:不成立.理由如下:因为投掷这个正十二面体一次,事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”,所以符合要求的数有2,3,4,6,8,9,10,12,一共有8个,则$P(A) = \frac{2}{3}$,因为事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”,所以符合要求的数有3,6,9,12,一共有4个,则$P(B) = \frac{1}{3}$,因为$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} ≠ \frac{2}{3}$,所以$P(A) ≠ \frac{1}{2} + P(B)$.
解析
【分析】
要判断等式是否成立，我们只需分别算出$P(A)$和$P(B)$的值，再计算等式右侧$\frac{1}{2}+P(B)$的结果，比较左右两边是否相等即可。首先投掷质地均匀的正十二面体一次，向上一面的数字共有1~12共12种等可能的结果；接下来分别枚举符合事件A、事件B的数字，注意事件A中既是2的倍数又是3的倍数的数字不要重复计数，数出符合条件的结果数后，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”分别计算两个事件的概率，最后代入等式两边比较大小就能得出结论。
【解析】
解：等式$P(A)=\frac{1}{2}+P(B)$不成立，理由如下：
投掷正十二面体一次，向上一面的数字共有1~12共12种等可能的结果。
事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”，符合要求的数有2、3、4、6、8、9、10、12，共8个，因此$P(A)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$；
事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”，符合要求的数有3、6、9、12，共4个，因此$P(B)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$；
计算等式右侧得：$\frac{1}{2}+P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$，由于$\frac{2}{3}≠\frac{5}{6}$，因此$P(A)≠\frac{1}{2}+P(B)$，原等式不成立。
【答案】
等式$P(A)=\frac{1}{2}+P(B)$不成立。
【知识点】
概率计算、倍数判定、有理数运算
【点评】
本题考查概率初步的基础应用，解题的关键是准确枚举符合条件的数字，避免重复计数导致概率计算错误，掌握等可能事件的概率计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
要判断等式是否成立，我们只需分别算出$P(A)$和$P(B)$的值，再计算等式右侧$\frac{1}{2}+P(B)$的结果，比较左右两边是否相等即可。首先投掷质地均匀的正十二面体一次，向上一面的数字共有1~12共12种等可能的结果；接下来分别枚举符合事件A、事件B的数字，注意事件A中既是2的倍数又是3的倍数的数字不要重复计数，数出符合条件的结果数后，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”分别计算两个事件的概率，最后代入等式两边比较大小就能得出结论。
【解析】
解：等式$P(A)=\frac{1}{2}+P(B)$不成立，理由如下：
投掷正十二面体一次，向上一面的数字共有1~12共12种等可能的结果。
事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”，符合要求的数有2、3、4、6、8、9、10、12，共8个，因此$P(A)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$；
事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”，符合要求的数有3、6、9、12，共4个，因此$P(B)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$；
计算等式右侧得：$\frac{1}{2}+P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$，由于$\frac{2}{3}≠\frac{5}{6}$，因此$P(A)≠\frac{1}{2}+P(B)$，原等式不成立。
【答案】
等式$P(A)=\frac{1}{2}+P(B)$不成立。
【知识点】
概率计算、倍数判定、有理数运算
【点评】
本题考查概率初步的基础应用，解题的关键是准确枚举符合条件的数字，避免重复计数导致概率计算错误，掌握等可能事件的概率计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
12.在一只不透明的口袋里,装有若干个除了颜色外均相同的小球,某数学学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不能重复,下表是活动进行中的一组统计数据:
(1)上表中的$a=$
(2)“摸到白球”的概率的估计值是
(3)如果袋中有12个白球,那么袋中除白球外,估计还有多少个其他颜色的小球.
(1)上表中的$a=$
0.59
,$b=$116
;(2)“摸到白球”的概率的估计值是
0.6
(精确到$0.1$);(3)如果袋中有12个白球,那么袋中除白球外,估计还有多少个其他颜色的小球.
答案
12.解:(1)$a = 59 ÷ 100 = 0.59$ , $b = 200 × 0.58 = 116$.
故答案为0.59;116.
(2)0.6
(3)$12 ÷ 0.6 - 12 = 8$(个).答:袋中除白球外,估计还有8个其他颜色的小球.
故答案为0.59;116.
(2)0.6
(3)$12 ÷ 0.6 - 12 = 8$(个).答:袋中除白球外,估计还有8个其他颜色的小球.
解析
【分析】
解题思路如下：(1)根据频率的计算公式“频率=频数÷总数”，求a时直接用摸到白球的次数59除以摸球总次数100即可；求b时，已知摸球总次数200和对应频率0.58，用总次数乘频率就能得到摸到白球的频数b。(2)大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势，找到稳定的数值即可。(3)已知白球的数量和摸到白球的概率估计值，先用白球数量除以概率得到球的总数量，再减去白球的数量，就能得到其他颜色球的数量。
【解析】
(1)根据频率公式$\frac{m}{n}$，可得：
$a=59÷100=0.59$
$b=200×0.58=116$
(2)观察表格数据，随着摸球次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此“摸到白球”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）。
(3)先计算袋中球的总数量：
总球数 = 白球数÷摸到白球的概率 = $12÷0.6=20$（个）
其他颜色球的数量 = 总球数 - 白球数 = $20-12=8$（个）
答：袋中除白球外，估计还有8个其他颜色的小球。
【答案】
(1)0.59；116
(2)0.6
(3)8个
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，概率的简单应用
【点评】
本题是概率的基础应用题型，核心考查频率与概率的关系，解题的关键是熟练掌握频率的计算公式，理解大量重复试验下频率可作为概率的估计值，整体计算量小，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：(1)根据频率的计算公式“频率=频数÷总数”，求a时直接用摸到白球的次数59除以摸球总次数100即可；求b时，已知摸球总次数200和对应频率0.58，用总次数乘频率就能得到摸到白球的频数b。(2)大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势，找到稳定的数值即可。(3)已知白球的数量和摸到白球的概率估计值，先用白球数量除以概率得到球的总数量，再减去白球的数量，就能得到其他颜色球的数量。
【解析】
(1)根据频率公式$\frac{m}{n}$，可得：
$a=59÷100=0.59$
$b=200×0.58=116$
(2)观察表格数据，随着摸球次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此“摸到白球”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）。
(3)先计算袋中球的总数量：
总球数 = 白球数÷摸到白球的概率 = $12÷0.6=20$（个）
其他颜色球的数量 = 总球数 - 白球数 = $20-12=8$（个）
答：袋中除白球外，估计还有8个其他颜色的小球。
【答案】
(1)0.59；116
(2)0.6
(3)8个
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，概率的简单应用
【点评】
本题是概率的基础应用题型，核心考查频率与概率的关系，解题的关键是熟练掌握频率的计算公式，理解大量重复试验下频率可作为概率的估计值，整体计算量小，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
