【例题】一项公路的修建工程被分成两份,分别承包给甲、乙两个工程队,两个工程队修建了同样长的一段时间后,分别剩下60%、40%的任务没有完成。已知两个工程队的工作效率(修建速度)之比是3:1,求这两个工程队承包的修建公路长度之比。

$(3 ÷ 40 \%):(1 ÷ 60 \%) = 9:2$
【分析】
方法一:甲工程队以乙工程队工作效率的3倍修建,仅完成了40%,而乙工程队完成了60%,如果乙工程队工作效率提高到原来的3倍,那么甲、乙两个工程队在相同时间内修建的长度相等,所以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%×3=180%,故甲工程队的承包任务是乙工程队承包任务的180%:40%=450%,所以可以求出两个工程队承包的修建公路长度之比。方法二:两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比,等于3:1,而他们分别完成了各自任务的40%和60%,所以可以求出两个工程队承包的修建公路长度之比。
【解答】

1. 一队和二队两个施工队的人数之比为 $ 3:4 $，每人工作效率之比为 $ 5:4 $。两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工 $ 9 $ 天。后来，由一队工人的 $ \frac{2}{3} $ 与二队工人的 $ \frac{1}{3} $ 组成新一队，其余的工人组成新二队。两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队比新一队早完工 $ 6 $ 天。那么前后两次工程的工作量之比是多少？

1. 一队与二队工作效率之比为 $(3×5):(4×4)=15:16$
一队干前一个工程需 $9÷\frac{16 - 15}{16}=144$（天）
新一队与新二队的工作效率比为 $(3×\frac{2}{3}×5 + 4×\frac{1}{3}×4):(3×\frac{1}{3}×5 + 4×\frac{2}{3}×4)=46:47$
新一队干后一个工程需：$6÷\frac{47 - 46}{47}=282$（天）
一队与新一队工作效率之比为 $15:(3×\frac{2}{3}×5 + 4×\frac{1}{3}×4)=45:46$
所以一队干后一个工程需：$282×\frac{46}{45}$ 天。
前后两次工程的工作量之比是 $144:(282×\frac{46}{45})=540:1081$

2. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量与乙工地工作量的比是 $ 3:2 $。上午去甲工地的人数与去乙工地人数的比为 $ 3:1 $，下午这批工人中有 $ \frac{7}{12} $ 的人去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需 $ 4 $ 名工人再做 $ 1 $ 天，这批工人有多少人？

2. 把甲、乙两地全部工作量看作单位“1”。由“甲工地的工作量与乙工地工作量的比是 $3:2$”可知，甲工地的工作量占两地总工作量的 $\frac{3}{5}$，乙工地的工作量占两地总工作量的 $\frac{2}{5}$。把工人总数看作单位“1”，由“上午去甲工地的人数与去乙工地人数的比为 $3:1$”可知，上午去甲工地的人数占两工地总人数的 $\frac{3}{4}$，去乙工地的人数占两工地总人数的 $\frac{1}{4}$，所以，一天中去甲、乙工地人数之比为 $(\frac{3}{4}+\frac{7}{12}):(\frac{1}{4}+\frac{12 - 7}{12})=2:1$，即一天中去甲工地的人数占两工地总人数的 $\frac{2}{3}$，去乙工地的人数占两工地总人数的 $\frac{1}{3}$，由于“到傍晚时，甲工地的工作已做完”，即 $\frac{2}{3}$ 的总人数完成了 $\frac{3}{5}$ 的总工作量，所以一天中全部工人完成的工作量为 $\frac{3}{5}÷\frac{2}{3}=\frac{9}{10}$，从而求得，这批工人的总数为 $4÷(1 - \frac{9}{10})-4 = 36$（人）。

设这批工人有$x$人，每人每天的工作量为1。
甲工地工作量占总工作量的$\frac{3}{3 + 2}=\frac{3}{5}$，乙工地工作量占总工作量的$\frac{2}{5}$。
上午去甲工地人数为$\frac{3}{3 + 1}x=\frac{3}{4}x$，去乙工地人数为$\frac{1}{4}x$；下午去甲工地人数为$\frac{7}{12}x$，去乙工地人数为$x-\frac{7}{12}x=\frac{5}{12}x$。
甲工地一天完成工作量：$\frac{3}{4}x+\frac{7}{12}x=\frac{9}{12}x+\frac{7}{12}x=\frac{16}{12}x=\frac{4}{3}x$，且$\frac{4}{3}x=\frac{3}{5}$总工作量，故总工作量为$\frac{4}{3}x÷\frac{3}{5}=\frac{20}{9}x$。
乙工地一天完成工作量：$\frac{1}{4}x+\frac{5}{12}x=\frac{3}{12}x+\frac{5}{12}x=\frac{8}{12}x=\frac{2}{3}x$。
乙工地剩余工作量：$\frac{2}{5}×\frac{20}{9}x-\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}x-\frac{6}{9}x=\frac{2}{9}x$，且$\frac{2}{9}x = 4×1$，解得$x = 18$。
$18$

3. 加工某型号工件，有三道工序，工作量的比是 $ 2:1:4 $，要求是先加工第一道工序，然后加工第二道工序，最后加工第三道工序。甲、乙两人同时开始加工该型号工件，他们的加工效率之比是 $ 5:4 $。当甲做完第 $ m(m＞2) $ 个工件的第二道工序时，乙正在做第 $ n $ 个工件的第一道工序，则此时乙最少加工完了多少道工序？

3. 由题意得 $7(n - 1)＜\frac{4}{5}(7m - 4)＜7(n - 1)+2$，即 $35n - 35＜28m - 16＜35n - 25$，即 $9＜35n - 28m＜19$。根据题意 $35n - 28m = 14$，即 $5n - 4m = 2$，所以用枚举法列出满足条件的 $m(m＞2)$、$n$，$\begin{cases}m = 7,\ = 6,\end{cases}\begin{cases}m = 12,\ = 10,\end{cases}\begin{cases}m = 17,\ = 14,\end{cases}······$ 所以 $n$ 最小为 $6$，即乙最少加工完了 $5$ 个工件，即 $3×5 = 15$（道）。
答：乙最少加工完了 $15$ 道工序。
提示：依题意得，加工一个工件的工作量为 $2 + 1+4 = 7$，则 $7(n - 1)＜\frac{4}{5}(7m - 4)＜7(n - 1)+2$，则 $35n - 35＜28m - 16＜35n - 25$，所以 $9＜35n - 28m＜19$。因为 $m$、$n$ 为正整数，所以 $35n - 28m$ 能被 $7$ 整除，故 $35n - 28m = 14$，即 $5n - 4m = 2$，所以用枚举法列出满足条件的 $m(m＞2)$、$n$，$\begin{cases}m = 7,\ = 6,\end{cases}\begin{cases}m = 12,\ = 10,\end{cases}\begin{cases}m = 17,\ = 14,\end{cases}······$ 所以 $n$ 最小为 $6$，即乙最少加工完了 $5$ 个工件，即 $3×5 = 15$（道）工序。