1. 下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是()

A.$a(m-n)=am-an$
B.$a^2 - b^2 + 1=(a + b)(a - b)+1$
C.$2a^2 + 6a=2a(a + 3)$
D.$a^2 - 1=a^2(1-\dfrac{1}{a^2})$

C

根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断：
1. 选项A：该变形是整式乘法，是从整式的积得到多项式，不属于因式分解；
2. 选项B：变形后的右边是多项式加常数的和的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解；
3. 选项C：将多项式$2a^2+6a$化为整式$2a$与$(a+3)$的乘积形式，符合因式分解的定义；
4. 选项D：变形后的式子中出现分式$\frac{1}{a^2}$，不符合“整式的积”的要求，不属于因式分解。
综上，只有C属于因式分解。

2. 下列多项式能用平方差公式因式分解的是()

A.$a^2 + 2a$
B.$x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2$
C.$a^2 - 2a + \frac{1}{4}$
D.$-b^2 + a^2$

D

首先明确能用平方差公式因式分解的多项式特征：属于二项式，两项都能写成平方的形式，且两项符号相反。逐个判断选项：
1. 选项A：是二项式，但第二项不是平方项，不符合平方差公式的适用条件；
2. 选项B：是三项式，不符合二项式的要求，不能用平方差公式分解；
3. 选项C：是三项式，不符合二项式的要求，不能用平方差公式分解；
4. 选项D：整理后为$a^2 - b^2$，是两个平方项符号相反的二项式，符合平方差公式的特征，可以因式分解为$(a+b)(a-b)$。

3.若$m^2=4n+a,n^2=4m+a,m≠n$,则$m^2+2mn+n^2$的值为()

A.与$a$的值有关
B.4
C.8
D.16

D

已知$m^2=4n+a$，$n^2=4m+a$，将两式相减得：
$m^2 - n^2 = 4n - 4m$
由平方差公式分解左边，右边提取公因式得：
$(m-n)(m+n) = -4(m-n)$
移项提取公因式$(m-n)$：
$(m-n)(m+n+4)=0$
因为$m≠n$，即$m-n≠0$，所以$m+n+4=0$，得$m+n=-4$。
由完全平方公式，$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2=(-4)^2=16$。

4.若多项式$x^2 + mx + 81$能运用完全平方公式进行因式分解，则$m=$______。

$\pm18$

根据完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，多项式$x^2+mx+81$中，首项为$x^2$，末项$81=9^2$，对应公式中$a=x$，$b=9$，因此中间项$mx=\pm2ab=\pm2· x·9=\pm18x$，即可求出m的取值。

5.若多项式$5x^2 - 17x - 12$可因式分解为$(x+a)(bx+3)$，其中$a,b$均为整数，则$a+b$的值是________。

1

先将等式右侧的因式展开：$(x+a)(bx+3)=bx^2+(ab+3)x+3a$。
根据多项式相等时对应项系数相等的性质，对比左右两侧多项式的各项系数：
1. 二次项系数对应相等：可得$b=5$；
2. 常数项对应相等：可得$3a=-12$，解得$a=-4$；
3. 代入验证一次项系数：$ab+3=(-4)×5+3=-17$，和原多项式的一次项系数完全一致，符合条件。
因此计算$a+b=-4+5=1$。

6.如果$x-3y=5$，$x^2-9y^2=35$，那么$x+3y=$______。

7

本题可利用平方差公式求解，由平方差公式对$x^2-9y^2$因式分解可得：$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x-3y)(x+3y)$，将已知条件$x-3y=5$，$x^2-9y^2=35$代入上式，得到$5×(x+3y)=35$，等式两边同时除以5，即可算出$x+3y$的结果。

7. 在计算$(a+b)(a^2 - ab + b^2)$时，得到$(a+b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$，发现中间项都可以消去，从而得到$(a+b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 + b^3$。人们将这个等式称为“立方和公式”，并利用它进行因式分解：$a^3 + b^3=(a+b)(a^2 - ab + b^2)$。若将$b^3$转化为$(-b)^3$，则得到$a^3 - b^3=a^3 + (-b)^3=[a + (-b)][a^2 - a · (-b) + (-b)^2]$，整理，得$a^3 - b^3=(a - b) · (a^2 + ab + b^2)$，这个等式称为“立方差公式”。
(1)请你利用立方和公式和立方差公式解答下列问题。
①因式分解：$x^3 + 8=$$\underline{\hspace{5cm}}$。
②填空：$(3m - 2)(\underline{\hspace{3cm}})=27m^3 - 8$。
(2)计算：$(x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)=$$\underline{\hspace{3cm}}$。
(3)若$a^2 + b^2=15$，$ab=5$，求$a^3 + b^3$的值。

①$(x+2)(x^2-2x+4)$；②$9m^2+6m+4$；(2)$x^6-1$；(3)$\pm50$

(1)① 先将原式变形为立方和形式：$x^3 + 8 = x^3 + 2^3$，套用立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，其中$a=x$，$b=2$，代入即可得到因式分解结果。
② 先将$27m^3 -8$变形为立方差形式：$27m^3-8=(3m)^3 - 2^3$，套用立方差公式$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$，其中$a=3m$，$b=2$，计算可得对应因式。
(2) 利用乘法交换律分组：原式$=[(x-1)(x^2+x+1)]·[(x+1)(x^2-x+1)]$，第一组套用立方差公式得$x^3-1$，第二组套用立方和公式得$x^3+1$，再利用平方差公式计算即可得到最终结果。
(3) 对立方和公式变形得$a^3+b^3=(a+b)(a^2 -ab +b^2)$，代入已知条件$a^2+b^2=15$，$ab=5$，先计算$a^2 -ab +b^2=(a^2+b^2)-ab=10$，再由完全平方公式得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=25$，即$a+b=\pm5$，代入即可求出$a^3+b^3$的值。