13. （★★）如图，在 $ \Box ABCD $中，过点 C作 CE $ \bot $ AB，垂足为 E，过点 D作 DF $ \bot $ BA，垂足为 BA延长线上的点 F，连接 CF交 AD于点 G.
(1) 求证：四边形 CDFE是矩形；
(2) 若 $ A E=1,B E=2,AD=2\sqrt{5} $ ，求 FC的长和四边形 CDFE的面积.

13. (1)$\because\ $四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore\ CD// AB$.
$\because\ CE⊥ AB$于点$E,DF⊥ BA$交$BA$的延长线于点$F$,
$\therefore\ CE// DF,CD// EF$.
$\therefore\ $四边形$CDFE$是平行四边形.
$\because\ ∠ EFD=90°$,
$\therefore\ □ CDFE$是矩形,即四边形$CDFE$是矩形.
(2)$\because\ $四边形$CDFE$是矩形,四边形$ABCD$是平行四边形,$AE=1,BE=2$,
$\therefore\ EF=CD=AB=AE+BE=1+2=3$.
$\therefore\ AF=EF - AE=3 - 1=2$.
$\because\ ∠ AFD=∠ CDF=90°,AD=2\sqrt{5}$,
$\therefore\ DF=\sqrt{AD^2 - AF^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2}=4$.
$\therefore\ FC=\sqrt{CD^2 + DF^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$,
$S_{\mathrm{四边形}CDFE}=EF· DF=3×4=12$.
综上,$FC$的长为$5$,四边形$CDFE$的面积为$12$.

 14. （★★★）如图，在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $中， $ AC=6 $ $ BC=8,∠ C=90° $ ，在边AB，BC，AC上分别取点
D, E, F，使四边形 DECF为矩形，则对角线 EF的长的最小值是_______.

14. $4.8$ 提示:如图,连接$CD$.

$\because\ AC=6,BC=8,∠ C=90°$,
$\therefore\ AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=10$.
$\because\ $四边形$DECF$为矩形,$\therefore\ CD=EF$.
当$CD⊥ AB$时,$CD$有最小值,此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,
$\therefore\ CD=\frac{6×8}{10}=4.8$.
$\therefore\ $对角线$EF$的长的最小值是$4.8$.

 15. （★★★）如图，在 $ △ A B C $中，O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC，设MN交 $ ∠ B C A $的平分线于点E，交 $ ∠ B C A $的外角的平分线于点F.
(1)求证： $ O E=O F. $(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请证明你的结论.

15. (1)$\because\ MN// BC$,
$\therefore\ ∠ BCE=∠ OEC,∠ FCD=∠ OFC$.
$\because\ CE$平分$∠ ACB,CF$平分$∠ ACD$,
$\therefore\ ∠ BCE=∠ ACE,∠ OCF=∠ FCD$.
$\therefore\ ∠ ACE=∠ OEC,∠ OCF=∠ OFC$.
$\therefore\ OE=OC,OC=OF.\therefore\ OE=OF$.
(2)当点$O$运动到$AC$的中点时,四边形$AECF$是矩形.
证明如下:
$\because\ AO=CO,OE=OF$,
$\therefore\ $四边形$AECF$是平行四边形.
$\because\ OE=OC,\therefore\ EF=AC$.
$\therefore\ □ AECF$为矩形,即四边形$AECF$是矩形.