15. (★★)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,$△ ABC$的顶点均在格点上,点B的坐标为$(1,0)$。
(1)画出$△ ABC$关于x轴对称的$△ A_{1}B_{1}C_{1};$
(2)画出将$△ ABC$绕原点O按逆时针旋转$90^{\circ }$所得的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$,写出点$C_{2}$的坐标;
(3)$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$成中心对称吗?若成中心对称,写出对称中心的坐标。

(1)如图，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求。
(2)如图，$△ A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求，点$C_{2}$的坐标为$(-1,3)$。
(3)$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$成中心对称，对称中心为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。

16. (★★★)我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。
【操作探究】
(1)下列四边形是勾股四边形的有(填序号)。
①长方形;②平行四边形;③正方形。
(2)图①、图②均为$6×6$的正方形网格,点A,B,C均在格点上,请在图中标出格点D,并连接AD,DC,使得四边形ABCD符合下列要求:图①中的四边形ABCD是勾股四边形,并且是中心对称图形;图②中的四边形ABCD是勾股四边形且对角线相等,但不是中心对称图形。

【理解应用】
(3)如图③,将$△ ABC$绕顶点B按顺时针方向旋转$60^{\circ }$,得到$△ DBE$,连接AD,DC,$∠DCB=30^{\circ }$,求证:四边形ABCD是勾股四边形。
【拓展应用】
(4)如图④,在四边形ABCD中,$△ BCD$为等边三角形,$AB=6,AD=8,∠DAB=30^{\circ }$,直接写出AC的长。

(1)①③
(2)如图①，四边形ABCD即为所求。
如图②，四边形ABCD即为所求。

(3)连接CE，如图③。
$\because △ ABC$绕顶点B按顺时针方向旋转$60^{\circ }$，得到$△ DBE$，
$\therefore AC=DE,BC=BE,∠ CBE=60^{\circ }$。$\therefore △ BCE$是等边三角形。
$\therefore EC=BC,∠ BCE=60^{\circ }$。
$\because ∠ DCB=30^{\circ },\therefore ∠ DCE=90^{\circ }$。
$\therefore DC^{2}+EC^{2}=DE^{2}$。$\therefore DC^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。
$\therefore$ 四边形ABCD是勾股四边形。

(4)AC的长为10。
提示:如图④，将$△ ABC$绕顶点B按逆时针方向旋转$60^{\circ }$，则点C与点D重合，得到$△ EBD$，连接AE。
$\therefore AB=BE,AC=DE,∠ ABE=60^{\circ }$。
$\therefore △ ABE$是等边三角形。
$\therefore ∠ DAE=∠ DAB+∠ BAE=30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$。
$\therefore △ DAE$为直角三角形。$\therefore DE^{2}=AD^{2}+AE^{2}$，
即$AC^{2}=AD^{2}+AB^{2}$。$\therefore AC=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。