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10 (2024镇江润州期末)下列乘法公式的运用中，正确的是(
A.$(-4a + 5)(4a - 5)=16a^{2}-25$
B.$(-2a - 3)^{2}=4a^{2}-12a + 9$
C.$(-a + 5)(-a - 5)=a^{2}-25$
D.$(3a + 5)(-3a - 5)=9a^{2}+30a + 25$
C
)A.$(-4a + 5)(4a - 5)=16a^{2}-25$
B.$(-2a - 3)^{2}=4a^{2}-12a + 9$
C.$(-a + 5)(-a - 5)=a^{2}-25$
D.$(3a + 5)(-3a - 5)=9a^{2}+30a + 25$
答案
10. C
11 (2025苏州昆山月考)已知$a + b = 6$，则$a^{2}-b^{2}+12b$的值为(
A.6
B.12
C.24
D.36
D
)A.6
B.12
C.24
D.36
答案
11. D
12 新情境(2025泰州海陵月考)如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫作“幸福数”，例如：因为$3^{2}-1^{2}=8$，所以8为“幸福数”，则下列数中是“幸福数”的为(
A.42
B.68
C.126
D.32
D
)A.42
B.68
C.126
D.32
答案
12. D
13 (2025苏州工业园区月考)计算：$2024×2026 - 2025^{2}=$
-1
。答案
13. -1
14 易错题(2025常州钟楼月考)将20cm长的一段铁丝分成两段，每一段都围成一个正方形，若这两个正方形的面积之差是$5cm^{2}$，则这两段铁丝的长分别为
12 cm 和 8 cm
。答案
14. 12 cm 和 8 cm
15 (2025盐城大丰月考)若$N = 2×(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{9^{2}})×(1-\frac{1}{10^{2}})$，则$N$的值为
$\frac{11}{10}$
。答案
15. $ \frac{11}{10} $
16 用简便方法计算：
(1) $204×196$；
(2) $-10\frac{2}{7}×9\frac{5}{7}$；
(3) $99\frac{4}{5}×100\frac{1}{5}$。
(1) $204×196$；
(2) $-10\frac{2}{7}×9\frac{5}{7}$；
(3) $99\frac{4}{5}×100\frac{1}{5}$。
答案
16. 解：(1) 39 984 (2) $ -99\frac{45}{49} $ (3) 9 999.96
17 (2025扬州高邮期中)已知多项式$M=(x + 2)^{2}+(2 - x)(2 + x)-2$。
(1) 化简多项式$M$；
(2) 若$(x + 1)^{2}-x^{2}=5$，求多项式$M$的值。
(1) 化简多项式$M$；
(2) 若$(x + 1)^{2}-x^{2}=5$，求多项式$M$的值。
答案
17. 解：(1) $ M = (x + 2)^{2} + (2 - x)(2 + x) - 2 = x^{2} + 4x + 4 + 4 - x^{2} - 2 = 4x + 6 $.
(2) 因为 $ (x + 1)^{2} - x^{2} = 5 $，
所以 $ x^{2} + 2x + 1 - x^{2} = 5 $，
所以 $ 2x + 1 = 5 $，解得 $ x = 2 $，
将 $ x = 2 $ 代入 $ M $，得 $ M = 4×2 + 6 = 14 $.
(2) 因为 $ (x + 1)^{2} - x^{2} = 5 $，
所以 $ x^{2} + 2x + 1 - x^{2} = 5 $，
所以 $ 2x + 1 = 5 $，解得 $ x = 2 $，
将 $ x = 2 $ 代入 $ M $，得 $ M = 4×2 + 6 = 14 $.
18 (2025宿迁宿城期末)【发现】比任意一个奇数大5的数与此奇数的平方差能被5整除。
【验证】(1) $8^{2}-3^{2}=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_×5$；
(2) 设奇数为$2n + 1$，试求证：比$2n + 1$大5的数与$2n + 1$的平方差能被5整除；
【延伸】(3) 请利用整数$k$证明：比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数为5。
【验证】(1) $8^{2}-3^{2}=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_×5$；
(2) 设奇数为$2n + 1$，试求证：比$2n + 1$大5的数与$2n + 1$的平方差能被5整除；
【延伸】(3) 请利用整数$k$证明：比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数为5。
答案
18. (1) 解：$ (8 + 3)×(8 - 3) $ 11
(2) 证明：根据题意，得 $ (2n + 6)^{2} - (2n + 1)^{2} = (2n + 6 + 2n + 1)(2n + 6 - 2n - 1) = 5(4n + 7) $.
因为 $ n $ 为整数，所以 $ 5(4n + 7) $ 是 5 的倍数，
所以比 $ 2n + 1 $ 大 5 的数与 $ 2n + 1 $ 的平方差能被 5 整除.
(3) 证明：设任意一个整数为 $ k $，则比 $ k $ 大 5 的数为 $ k + 5 $，
所以 $ (k + 5)^{2} - k^{2} = (k + 5 + k)(k + 5 - k) = 10k + 25 = 10k + 20 + 5 = 10(k + 2) + 5 $.
因为 $ k $ 为整数，所以 $ 10(k + 2) + 5 $ 被 10 除余 5，
所以比任意一个整数大 5 的数与此整数的平方差被 10 除的余数为 5.
(2) 证明：根据题意，得 $ (2n + 6)^{2} - (2n + 1)^{2} = (2n + 6 + 2n + 1)(2n + 6 - 2n - 1) = 5(4n + 7) $.
因为 $ n $ 为整数，所以 $ 5(4n + 7) $ 是 5 的倍数，
所以比 $ 2n + 1 $ 大 5 的数与 $ 2n + 1 $ 的平方差能被 5 整除.
(3) 证明：设任意一个整数为 $ k $，则比 $ k $ 大 5 的数为 $ k + 5 $，
所以 $ (k + 5)^{2} - k^{2} = (k + 5 + k)(k + 5 - k) = 10k + 25 = 10k + 20 + 5 = 10(k + 2) + 5 $.
因为 $ k $ 为整数，所以 $ 10(k + 2) + 5 $ 被 10 除余 5，
所以比任意一个整数大 5 的数与此整数的平方差被 10 除的余数为 5.
