1. 如图,要在电线杆离地面5 m处向地面拉一条长为7 m的钢缆,地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为 （）

A.12 m
B.$2\sqrt{6}$ m
C.2 m
D.$\sqrt{26}$ m

(第1题) (第2题)

B

根据题意，电线杆与地面垂直，构成直角三角形，直角边为5m，斜边为7m。由勾股定理得：AB² = 7² - 5² = 49 -25=24，故AB=√24=2√6 m。

2. 如图，边长为$a$的等边三角形$ABC$中，$BF$是$AC$的中线，$D$是线段$BF$上的动点，连接$AD$，在$AD$的右侧作等边三角形$ADE$，连接$BE$，则$AE+BE$的最小值是（）

A.$(\sqrt{3}+1)a$
B.$3a-1$
C.$\sqrt{5}a$
D.$\sqrt{3}a$

D

1. 等边△ABC中，BF是AC中线，故AB=AC=a，∠BAC=60°，∠ABF=∠CBF=30°；2. △ADE是等边三角形，故AD=AE，∠DAE=60°，得∠BAD=∠CAE，证△BAD≌△CAE（SAS），得∠ACE=∠ABD=30°，即点E在过C且与AC成30°的直线（x=a，坐标法推导）上；3. 求AE+BE的最小值转化为：点A到直线x=a上动点E，加BE的最小值，作B关于直线x=a的对称点(2a,0)，则AE+BE=AE+B'E，最小值为AB'的距离，计算得AB'=√[(3a/2)²+(√3 a/2)²]=√3 a。

3. 如图，分别以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长$AB$，$AC$，$BC$为边长向外作正方形，正方形中标注的数字代表所在正方形的面积，则$x$所在的正方形的面积为________。

14

在Rt△ABC中，∠A=90°，根据勾股定理，AB² + AC² = BC²。已知以AB为边的正方形面积为6，即AB²=6；以AC为边的正方形面积为8，即AC²=8；以BC为边的正方形面积为x，即BC²=x。因此x=AB² + AC²=6+8=14。

4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，动点$P$从点$B$出发，沿射线$BC$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速移动，设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，当$△ ABP$为等腰三角形时，$t=$。

25/4、10、16

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得BC=√(AB² - AC²)=√(10² -6²)=8 cm。动点P沿射线BC以1 cm/s移动，运动时间t s，故BP=t cm。△ABP为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 当AB=BP时：AB=10 cm，因此BP=10，即t=10；
2. 当AB=AP时：因AC⊥BC，等腰△ABP中AC垂直底边BP，故C为BP中点，BP=2BC=16 cm，即t=16；
3. 当BP=AP时：设BP=AP=t，则PC=8 - t，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP²=AC² + PC²，即t²=6² + (8 - t)²，展开化简得16t=100，解得t=25/4。
综上，t的值为25/4、10、16。

三、解答题
5.（1）如图①，秋千OA在平衡位置时，下端A距地面0.6 m，当秋千荡到OA₁的位置时，下端A₁距平衡时的水平距离A₁B为2.4 m，距地面1.4 m，求秋千OA的长度；
（2）如图②，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，DA＝24 m，求这块草地的面积.

（1）秋千OA的长度为4米；（2）这块草地的面积为234平方米。

（1）设秋千OA的长度为$ x $米。由题意知，$ AB = 1.4 - 0.6 = 0.8 $米，故$ OB = OA - AB = x - 0.8 $米。在$ \mathrm{Rt}△ OBA_1 $中，根据勾股定理：$ OB^2 + A_1B^2 = OA_1^2 $，其中$ OA_1 = OA = x $，代入得：$(x - 0.8)^2 + 2.4^2 = x^2$，展开计算：$ x^2 - 1.6x + 0.64 + 5.76 = x^2 $，化简得$-1.6x + 6.4 = 0$，解得$ x = 4 $。（2）连接$ AC $，在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ B = 90° $，由勾股定理得：$ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 625 $，故$ AC = 25 $米。又$ CD = 7 $米，$ DA = 24 $米，验证得$ CD^2 + DA^2 = 7^2 + 24^2 = 625 = AC^2 $，故$ △ ACD $是直角三角形，$ ∠ ADC = 90° $。草地面积为$ S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × 20 × 15 + \frac{1}{2} × 7 × 24 = 150 + 84 = 234 $平方米。