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1.已知扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长为(
A.$\frac{\pi}{2}$
B.$\pi$
C.$\frac{\pi}{6}$
D.$\frac{\pi}{3}$
D
).A.$\frac{\pi}{2}$
B.$\pi$
C.$\frac{\pi}{6}$
D.$\frac{\pi}{3}$
答案
D
解析
扇形的弧长公式为 $l = \frac{n\pi r}{180}$，其中 $n$ 是圆心角，$r$ 是半径。
将 $n = 60°$ 和 $r = 1$ 代入公式，得：
$l = \frac{60\pi × 1}{180} = \frac{\pi}{3}$
将 $n = 60°$ 和 $r = 1$ 代入公式，得：
$l = \frac{60\pi × 1}{180} = \frac{\pi}{3}$
2.圆心角为120°、弧长为12$\pi$的扇形的半径为(
A.6
B.9
C.18
D.36
C
).A.6
B.9
C.18
D.36
答案
C
解析
设扇形的半径为$r$，已知圆心角为$120°$，弧长为$12\pi$。
根据弧长公式：$l = \frac{n\pi r}{180}$，代入已知条件：
$12\pi = \frac{120\pi r}{180}$
化简得：$12\pi = \frac{2\pi r}{3}$
两边同除以$\pi$：$12 = \frac{2r}{3}$
解得：$r = 18$
根据弧长公式：$l = \frac{n\pi r}{180}$，代入已知条件：
$12\pi = \frac{120\pi r}{180}$
化简得：$12\pi = \frac{2\pi r}{3}$
两边同除以$\pi$：$12 = \frac{2r}{3}$
解得：$r = 18$
3.一个扇形的圆心角是120°,面积是3$\pi c m^{2}$,那么这个扇形的半径是(
A.1 cm
B.3 cm
C.6 cm
D.9 cm
B
).A.1 cm
B.3 cm
C.6 cm
D.9 cm
答案
B
解析
设扇形的半径为$r$，扇形面积公式为$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$n$为圆心角度数），已知$n = 120^{\circ}$，$S = 3\pi$ $cm^{2}$，代入可得$3\pi=\frac{120\pi r^{2}}{360}$，化简方程得$3\pi=\frac{1}{3}\pi r^{2}$，两边同时除以$\pi$得$3 = \frac{1}{3}r^{2}$，进一步求解得$r^{2}=9$，因为$r\gt0$，所以$r = 3$ $cm$。
4.已知圆锥的底面半径为4 cm,母线长为6 cm,则它的侧面展开图的面积等于(
A.$24 c m^{2}$
B.$48 c m^{2}$
C.$24\pi c m^{2}$
D.$12\pi c m^{2}$
C
).A.$24 c m^{2}$
B.$48 c m^{2}$
C.$24\pi c m^{2}$
D.$12\pi c m^{2}$
答案
C
解析
圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。
圆锥底面半径为$4cm$，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$，可得底面周长为$2\pi×4 = 8\pi cm$。
圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥母线长$6cm$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$（其中$l$为扇形弧长，$R$为扇形半径），可得圆锥侧面展开图的面积$S=\frac{1}{2}×8\pi×6 = 24\pi cm^{2}$。
圆锥底面半径为$4cm$，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$，可得底面周长为$2\pi×4 = 8\pi cm$。
圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥母线长$6cm$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$（其中$l$为扇形弧长，$R$为扇形半径），可得圆锥侧面展开图的面积$S=\frac{1}{2}×8\pi×6 = 24\pi cm^{2}$。
5.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图,已知底面圆的直径$AB=8 cm$,圆柱体部分的高$BC=6 cm$,圆锥体部分的高$CD=3 cm$,则这个陀螺的表面积是(
A.$68\pi c m^{2}$
B.$74\pi c m^{2}$
C.$84\pi c m^{2}$
D.$100\pi c m^{2}$
C
).A.$68\pi c m^{2}$
B.$74\pi c m^{2}$
C.$84\pi c m^{2}$
D.$100\pi c m^{2}$
答案
C
解析
陀螺表面积=圆柱侧面积+圆柱下底面积+圆锥侧面积。
圆柱半径$r=4cm$，高$h=6cm$，侧面积$=2πrh=2π×4×6=48π$；下底面积$=πr²=π×4²=16π$。
圆锥底面半径$r=4cm$，高$CD=3cm$，母线$l=\sqrt{r²+CD²}=\sqrt{4²+3²}=5cm$，侧面积$=πrl=π×4×5=20π$。
总表面积$=48π+16π+20π=84π$。
圆柱半径$r=4cm$，高$h=6cm$，侧面积$=2πrh=2π×4×6=48π$；下底面积$=πr²=π×4²=16π$。
圆锥底面半径$r=4cm$，高$CD=3cm$，母线$l=\sqrt{r²+CD²}=\sqrt{4²+3²}=5cm$，侧面积$=πrl=π×4×5=20π$。
总表面积$=48π+16π+20π=84π$。
6.已知扇形的半径为6 cm,面积为$10\pi c m^{2}$,则该扇形的弧长等于
$\frac{10\pi}{3}$
cm.答案
$\frac{10\pi}{3}$（或填$\frac{10}{3}\pi$）
解析
设扇形的弧长为$l$，已知扇形半径$r = 6cm$，面积$S=\frac{1}{2}lr = 10\pi$，将$r = 6$代入$S=\frac{1}{2}lr$中，可得$\frac{1}{2}× l×6 = 10\pi$，即$3l = 10\pi$，解得$l=\frac{10\pi}{3}$。
7.一个扇形的半径为3 cm,面积为$\pi c m^{2}$,则此扇形的圆心角的度数为
40°
.答案
$40{°}$
解析
设扇形的圆心角度数为 $n{°}$。
根据扇形面积公式：$S=\frac{n\pi R^{2}}{360}$（其中$S$为扇形面积，$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知$R = 3cm$，$S=\pi cm^{2}$，代入可得：
$\pi=\frac{n\pi×3^{2}}{360}$
$\pi=\frac{9n\pi}{360}$
两边同时除以$\pi$得：$1=\frac{9n}{360}$
解得$n = 40$。
根据扇形面积公式：$S=\frac{n\pi R^{2}}{360}$（其中$S$为扇形面积，$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知$R = 3cm$，$S=\pi cm^{2}$，代入可得：
$\pi=\frac{n\pi×3^{2}}{360}$
$\pi=\frac{9n\pi}{360}$
两边同时除以$\pi$得：$1=\frac{9n}{360}$
解得$n = 40$。
8.如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条$AB$和$AC$的夹角为120°,$AB$长为25 cm,贴纸部分的宽$BD$为15 cm.若纸扇两面贴纸,则贴纸的面积为
350π
$ c m^{2}$.答案
$350\pi$
解析
已知扇形纸扇外侧两竹条$AB=AC=25\, cm$，夹角$\angle BAC=120°$，贴纸部分宽$BD=15\, cm$，则$AD=AB-BD=25-15=10\, cm$。
贴纸面积为大扇形$ABC$与小扇形$ADE$面积差的2倍（两面贴纸）。
扇形面积公式：$S=\frac{n\pi R^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为半径）。
大扇形面积：$S_1=\frac{120\pi ×25^2}{360}=\frac{625\pi}{3}\, cm^2$。
小扇形面积：$S_2=\frac{120\pi ×10^2}{360}=\frac{100\pi}{3}\, cm^2$。
一面贴纸面积：$S_1-S_2=\frac{625\pi}{3}-\frac{100\pi}{3}=\frac{525\pi}{3}=175\pi\, cm^2$。
两面贴纸面积：$2×175\pi=350\pi\, cm^2$。
9.如图,$AB$是$\odot O$的直径,$AC$是弦, $AC=3$,$\angle BOC=2\angle AOC$.若用扇形$OAC$围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆圆的半径是
1/2
.答案
1/2
解析
设∠AOC=x，则∠BOC=2x，∵AB是直径，∴∠AOB=180°，即x+2x=180°，解得x=60°，∴∠AOC=60°。
∵OA=OC=R（圆半径），∠AOC=60°，∴△OAC是等边三角形，∴AC=OA=R=3。
扇形OAC的弧长L=（nπR）/180=（60π×3）/180=π。
圆锥底面圆周长=弧长L，即2πr=π，解得r=1/2。
∵OA=OC=R（圆半径），∠AOC=60°，∴△OAC是等边三角形，∴AC=OA=R=3。
扇形OAC的弧长L=（nπR）/180=（60π×3）/180=π。
圆锥底面圆周长=弧长L，即2πr=π，解得r=1/2。
10.如图,在$ Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC=2\sqrt{2}$,若把$ Rt\triangle ABC$绕边$AB$所在直线旋转一周,则所得几何体的表面积为
$8\sqrt{2}\pi$
(结果保留$\pi$).答案
$8\sqrt{2}\pi$
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=BC=2\sqrt{2}$，为等腰直角三角形。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$。
设斜边上的高为$r$（即旋转后两圆锥底面半径），由面积法：$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· r$，即$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=\frac{1}{2}×4× r$，解得$r=2$。
旋转后几何体为两个同底圆锥组合体，母线长均为$AC=BC=2\sqrt{2}$，底面半径$r=2$。
每个圆锥侧面积为$\pi rl=\pi×2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\pi$，总表面积为$2×4\sqrt{2}\pi=8\sqrt{2}\pi$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$。
设斜边上的高为$r$（即旋转后两圆锥底面半径），由面积法：$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· r$，即$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=\frac{1}{2}×4× r$，解得$r=2$。
旋转后几何体为两个同底圆锥组合体，母线长均为$AC=BC=2\sqrt{2}$，底面半径$r=2$。
每个圆锥侧面积为$\pi rl=\pi×2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\pi$，总表面积为$2×4\sqrt{2}\pi=8\sqrt{2}\pi$。
