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8. 如图，在 $Rt△ BCD$ 中，$∠ BDC = 30^{\circ}$，延长 $CD$ 到点 $A$，连接 $AB$，$∠ A = 15^{\circ}$，求 $\tan 15^{\circ}$ 的值（结果保留根号）.
答案
8. $\tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3}$
解析
解：设 $ BC = x $。
在 $ Rt△ BCD $ 中，$ ∠ BDC = 30° $，$ ∠ BCD = 90° $，
$\therefore CD = \frac{BC}{\tan 30°} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}x$，$ BD = 2BC = 2x $。
$\because ∠ BDC = 30°$，$∠ A = 15°$，$∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD$，
$\therefore ∠ ABD = 30° - 15° = 15°$，
$\therefore ∠ A = ∠ ABD$，$\therefore AD = BD = 2x$。
$\therefore AC = AD + CD = 2x + \sqrt{3}x = (2 + \sqrt{3})x$。
在 $ Rt△ ABC $ 中，$\tan 15° = \frac{BC}{AC} = \frac{x}{(2 + \sqrt{3})x} = 2 - \sqrt{3}$。
$\tan 15° = 2 - \sqrt{3}$
在 $ Rt△ BCD $ 中，$ ∠ BDC = 30° $，$ ∠ BCD = 90° $，
$\therefore CD = \frac{BC}{\tan 30°} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}x$，$ BD = 2BC = 2x $。
$\because ∠ BDC = 30°$，$∠ A = 15°$，$∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD$，
$\therefore ∠ ABD = 30° - 15° = 15°$，
$\therefore ∠ A = ∠ ABD$，$\therefore AD = BD = 2x$。
$\therefore AC = AD + CD = 2x + \sqrt{3}x = (2 + \sqrt{3})x$。
在 $ Rt△ ABC $ 中，$\tan 15° = \frac{BC}{AC} = \frac{x}{(2 + \sqrt{3})x} = 2 - \sqrt{3}$。
$\tan 15° = 2 - \sqrt{3}$
9. (1) 如图①，由直角三角形中的边角关系知，在 $Rt△ ACD$ 中，$\sin ∠ A =$
$S_{△ ABC} =$
其用文字语言表述即为三角形的面积等于两边及其夹角正弦的积的一半.
(2) 如图②，在 $△ ABC$ 中，$CD ⊥ AB$ 于 $D$，$∠ ACD = α$，$∠ DCB = β$.
因为 $S_{△ ABC} = S_{△ ADC} + S_{△ BDC}$，由公式※，得
$\frac{1}{2}AC · BC · \sin(α + β) = \frac{1}{2}AC · CD · \sin α + \frac{1}{2}BC · CD · \sin β$，
即 $AC · BC · \sin(α + β) = AC · CD · \sin α + BC · CD · \sin β$.
两边同除以 $AC · BC$，得
$\sin(α + β) = \frac{CD}{BC} · \sin α + \frac{CD}{AC} · \sin β$.
利用直角三角形的边角关系，将得到新的结论：
(3) 利用(2)中的结论，试求 $\sin 75^{\circ}$ 和 $\sin 105^{\circ}$ 的值，并比较其大小.
$\frac{CD}{AC}$
，所以 $CD =$$AC\sin ∠ A$
，而 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD$，于是可将三角形面积公式变形，得$S_{△ ABC} =$
$\frac{1}{2}AB · AC\sin ∠ A$
.※其用文字语言表述即为三角形的面积等于两边及其夹角正弦的积的一半.
(2) 如图②，在 $△ ABC$ 中，$CD ⊥ AB$ 于 $D$，$∠ ACD = α$，$∠ DCB = β$.
因为 $S_{△ ABC} = S_{△ ADC} + S_{△ BDC}$，由公式※，得
$\frac{1}{2}AC · BC · \sin(α + β) = \frac{1}{2}AC · CD · \sin α + \frac{1}{2}BC · CD · \sin β$，
即 $AC · BC · \sin(α + β) = AC · CD · \sin α + BC · CD · \sin β$.
两边同除以 $AC · BC$，得
$\sin(α + β) = \frac{CD}{BC} · \sin α + \frac{CD}{AC} · \sin β$.
利用直角三角形的边角关系，将得到新的结论：
$\sin (α + β) = \cos β \sin α + \cos α \sin β$
.(3) 利用(2)中的结论，试求 $\sin 75^{\circ}$ 和 $\sin 105^{\circ}$ 的值，并比较其大小.
答案
9. $\frac{CD}{AC}$，$AC\sin ∠ A$，$\frac{1}{2}AB · AC\sin ∠ A$ (2)$\sin (α + β) = \cos β \sin α + \cos α \sin β$ (3)$\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$，$\sin 105^{\circ} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$，$\sin 75^{\circ} = \sin 105^{\circ}$
解析
(1) $\frac{CD}{AC}$，$AC\sin ∠ A$，$\frac{1}{2}AB · AC\sin ∠ A$
(2) $\sin (α + β) = \cos β \sin α + \cos α \sin β$
(3) $\sin 75^{\circ} = \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 30^{\circ} \sin 45^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$\sin 105^{\circ} = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \sin 60^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$\sin 75^{\circ} = \sin 105^{\circ}$
(2) $\sin (α + β) = \cos β \sin α + \cos α \sin β$
(3) $\sin 75^{\circ} = \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 30^{\circ} \sin 45^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$\sin 105^{\circ} = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \sin 60^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$\sin 75^{\circ} = \sin 105^{\circ}$
