23. (11分)数学探究活动课上，八年级的同学发现由幂的运算逆向思维可以得到$a^{m + n} = a^{m} · a^{n}$，$a^{m - n} = a^{m} ÷ a^{n}$，$a^{mn} = (a^{m})^{n} = (a^{n})^{m}$.在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决.
(1)若$8^{m} × 16^{m} × 32^{m} = 2^{24}$，求$m$的值；
(2)若$a = 3^{99}$，$b = 4^{66}$，$c = 5^{33}$，试比较$a$，$b$，$c$的大小关系.

(1)
将$8^{m}×16^{m}×32^{m}$变形为以$2$为底的幂的形式：
$8^{m}×16^{m}×32^{m}=(2^{3})^{m}×(2^{4})^{m}×(2^{5})^{m}$
根据幂的乘方$(a^{m})^{n}=a^{mn}$可得：
$(2^{3})^{m}×(2^{4})^{m}×(2^{5})^{m}=2^{3m}×2^{4m}×2^{5m}$
根据同底数幂相乘$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$可得：
$2^{3m}×2^{4m}×2^{5m}=2^{3m + 4m+5m}=2^{12m}$
因为$8^{m}×16^{m}×32^{m}=2^{24}$，所以$2^{12m}=2^{24}$，则$12m = 24$，解得$m = 2$。
(2)
因为$a = 3^{99}=(3^{3})^{33}=27^{33}$，$b = 4^{66}=(4^{2})^{33}=16^{33}$，$c = 5^{33}$。
根据指数相同，底数越大，幂越大，因为$27＞16＞5$，所以$a＞b＞c$。
综上，答案依次为：(1)$m = 2$；(2)$a＞b＞c$。

24. (12分)用图1中三种不同大小的正方形与长方形拼成了一个如图2所示的正方形.
(1)根据图2中的阴影部分的面积关系直接写出$(a + b)^{2}$，$a^{2} + b^{2}$，$ab$之间的数量关系：；
(2)已知$m + n = -1$，$m^{2} + n^{2} = 25$，求$mn$和$(m - n)^{2}$的值；
(3)已知$(x - 98)^{2} + (x - 100)^{2} = 34$，求$(x - 99)^{2}$的值.

(1) $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
(2) 已知 $m+n = -1$， $m^2 + n^2 = 25$，
由 $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$，
得 $(-1)^2 = 25 + 2mn$，
即 $1 = 25 + 2mn$，
所以 $2mn = 1 - 25 = -24$，
即 $mn = -12$。
再求 $(m-n)^2$，
$(m-n)^2 = m^2 + n^2 - 2mn = 25 - 2(-12) = 25 + 24 = 49$。
(3) 已知 $(x-98)^2 + (x-100)^2 = 34$，
设 $y = x - 99$，
则 $x - 98 = y + 1$，
$x - 100 = y - 1$，
所以 $(y+1)^2 + (y-1)^2 = 34$，
即 $y^2 + 2y + 1 + y^2 - 2y + 1 = 34$，
即 $2y^2 + 2 = 34$，
即 $2y^2 = 32$，
即 $y^2 = 16$。
所以 $(x-99)^2 = 16$。