19.(本题满分 10 分)
如图，在$4 × 4$的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1。

(1)求$\triangle ABC$的周长;
(2)求证$\angle ABC = 90^{\circ}$;
(3)若点$P$为直线$AC$上任意一点，则线段$BP$的最小值为。(直接填写结果)

(1) 设网格中每个小正方形边长为1，确定点A、B、C坐标分别为A(0,0)、B(3,1)、C(2,4)。
AB的长度：横向3，纵向1，由勾股定理得$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
BC的长度：横向$2-3=-1$，纵向$4-1=3$，由勾股定理得$BC=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}$；
AC的长度：横向2，纵向4，由勾股定理得$AC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
$\triangle ABC$的周长为$AB+BC+AC=\sqrt{10}+\sqrt{10}+2\sqrt{5}=2\sqrt{10}+2\sqrt{5}$。
(2) 由(1)得$AB^2=(\sqrt{10})^2=10$，$BC^2=(\sqrt{10})^2=10$，$AC^2=(2\sqrt{5})^2=20$。
$\because AB^2+BC^2=10+10=20=AC^2$，$\therefore \angle ABC=90°$（勾股定理的逆定理）。
(3) $\sqrt{5}$

(1)由勾股定理得，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\triangle ABC$的周长为$3\sqrt{2}+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}+2\sqrt{5}$。
(2)证明：由(1)知$AB=2\sqrt{5}$，$BC=2\sqrt{2}$，$AC=3\sqrt{2}$，$AB^2=(2\sqrt{5})^2=20$，$BC^2=(2\sqrt{2})^2=8$，$AC^2=(3\sqrt{2})^2=18$，因为$BC^2 + AC^2=8 + 18=26\neq AB^2$，$AB^2 + BC^2=20 + 8=28\neq AC^2$，$AB^2 + AC^2=20 + 18=38\neq BC^2$，所以原证明错误，返回1。

20.(本题满分 10 分)
(1)计算:$-2^2 + \sqrt{4} + \sqrt[3]{-1} × \sqrt{5} + |2 - \sqrt{5}|$。
(2)已知实数$a,b,c$满足$b = \sqrt{-(a - 3)^2} + 4$，$c$的平方根等于它本身，求$a + \sqrt{b - c}$的值。

(1)
$-2^{2}+\sqrt{4}+\sqrt[3]{-1}×\sqrt{5}+\vert2 - \sqrt{5}\vert$
$=-4 + 2+(-1)×\sqrt{5}+\sqrt{5}-2$
$=-4 + 2-\sqrt{5}+\sqrt{5}-2$
$=-4$
(2)
因为$-(a - 3)^{2}\geqslant0$，且$(a - 3)^{2}\geqslant0$，所以$a - 3 = 0$，即$a = 3$。
把$a = 3$代入$b=\sqrt{-(a - 3)^{2}}+4$，得$b=\sqrt{0}+4 = 4$。
因为$c$的平方根等于它本身，所以$c = 0$。
$a+\sqrt{b - c}=3+\sqrt{4-0}=3 + 2=5$。
综上，答案依次为：(1)$-4$；(2)$5$。