20. (本题满分 8 分)
欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一,他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹。设$a,b,c$为两两不同的数,称$P_{n}=\frac {a^{n}}{(a-b)(a-c)}+\frac {b^{n}}{(b-c)(b-a)}+\frac {c^{n}}{(c-a)(c-b)}(n=0,1,2,3)$为欧拉分式。
(1)写出$P_{0}$对应的表达式;
(2)化简$P_{1}$对应的表达式。

(1) $ P_{0}=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)} $
(2) $ P_{1}=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)} $
$\begin{aligned}&=\frac{a}{(a-b)(a-c)}-\frac{b}{(a-b)(b-c)}+\frac{c}{(a-c)(b-c)}\\&=\frac{a(b-c)-b(a-c)+c(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\\&=\frac{ab-ac-ab+bc+ac-bc}{(a-b)(a-c)(b-c)}\\&=\frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}\\&=0\end{aligned}$
结论：$ P_{1}=0 $

21. (本题满分 10 分)
如图,小刚家、王老师家、学校在同一条路上,小刚家到王老师家的路程为 3 千米,王老师家到学校的路程为 0.5 千米。由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线,为了使小刚能按时到校,王老师每天骑自行车送小刚上学。已知王老师骑自行车的速度是其步行的 3 倍,每天比平时步行上班多用了 20 分钟,王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少?

王老师步行速度为2千米/小时，骑自行车速度为6千米/小时。

设王老师步行速度为$ v $千米/小时，则骑自行车速度为$ 3v $千米/小时。
1. 确定路程：
小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家3千米，王老师家到学校0.5千米，故小刚家到学校的路程为$ 3 + 0.5 = 3.5 $千米（王老师骑自行车送小刚上学的路程）。
2. 时间关系：
平时步行上班时间：$ \frac{0.5}{v} $小时（路程0.5千米）。
骑自行车送小刚上学时间：$ \frac{3.5}{3v} $小时（路程3.5千米）。
已知送小刚上学比步行上班多用20分钟（即$ \frac{1}{3} $小时），列方程：
$ \frac{3.5}{3v} - \frac{0.5}{v} = \frac{1}{3} $
3. 解方程：
化简方程左边：$ \frac{3.5}{3v} - \frac{1.5}{3v} = \frac{2}{3v} $。
则$ \frac{2}{3v} = \frac{1}{3} $，解得$ v = 2 $。
4. 速度结果：
步行速度$ v = 2 $千米/小时，骑自行车速度$ 3v = 6 $千米/小时。