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6. 把分式方程$\frac{2}{x}-1=\frac{-1}{x+1}$化为整式方程,正确的是(
A.$2(x+1)-1=-x$
B.$2(x+1)-x(x+1)=-x$
C.$2(x+1)-x(x+1)=-1$
D.$2x-x(x+1)=-x$
B
)A.$2(x+1)-1=-x$
B.$2(x+1)-x(x+1)=-x$
C.$2(x+1)-x(x+1)=-1$
D.$2x-x(x+1)=-x$
答案
B
解析
原方程为$\frac{2}{x} - 1 = \frac{-1}{x + 1}$。
首先找到分母的最简公分母，即$x(x + 1)$。
然后两边乘以$x(x + 1)$，得到：
$2(x + 1) - x(x + 1) = -x$，
这与选项B相符合。
首先找到分母的最简公分母，即$x(x + 1)$。
然后两边乘以$x(x + 1)$，得到：
$2(x + 1) - x(x + 1) = -x$，
这与选项B相符合。
7. 有两块面积相同的小麦试验田,分别收获小麦 9000 千克和 15000 千克。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少 3000 千克,设第一块试验田每公顷的产量为 x 千克,由题意可列方程为(
A.$\frac{9000}{x+3000}=\frac{15000}{x}$
B.$\frac{9000}{x}=\frac{15000}{x-3000}$
C.$\frac{9000}{x}=\frac{15000}{x+3000}$
D.$\frac{9000}{x-3000}=\frac{15000}{x}$
C
)A.$\frac{9000}{x+3000}=\frac{15000}{x}$
B.$\frac{9000}{x}=\frac{15000}{x-3000}$
C.$\frac{9000}{x}=\frac{15000}{x+3000}$
D.$\frac{9000}{x-3000}=\frac{15000}{x}$
答案
C
解析
设第一块试验田每公顷的产量为$x$千克，则第二块试验田每公顷的产量为$(x + 3000)$千克。因为两块试验田面积相同，根据“面积 = 产量÷每公顷产量”，可得$\frac{9000}{x}=\frac{15000}{x + 3000}$。
8. 下列算式:①$\frac{x-y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{x-y}$;②$\frac{y}{x} ÷ \frac{x}{y} ·\left(-\frac{y}{x}\right)=-\frac{y}{x}$;③$\frac{(a-b)^{2}}{(a+b)^{2}}=-1$;④$\frac{a^{2}+ab}{a-b} ÷ \frac{ab}{a-b}=\frac{a+b}{b}$。其中结果正确的有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
A
解析
对于①：
$\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}} = \frac{x - y}{(x - y)(x + y)} = \frac{1}{x + y}$，与给出的$\frac{1}{x - y}$不同，所以①错误。
对于②：
$\frac{y}{x} ÷ \frac{x}{y} · \left( - \frac{y}{x} \right) = \frac{y}{x} · \frac{y}{x} · \left( - \frac{y}{x} \right) = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$，与给出的$- \frac{y}{x}$不同，所以②错误。
对于③：
$\frac{(a - b)^{2}}{(a + b)^{2}}$，
由于分子和分母都是平方，且没有公共因子可以约去，所以结果不可能为$-1$，③错误。
对于④：
$\frac{a^{2} + ab}{a - b} ÷ \frac{ab}{a - b} = \frac{a(a + b)}{a - b} · \frac{a - b}{ab} = \frac{a + b}{b}$，与给出的$\frac{a + b}{b}$相同，所以④正确。
综上，只有④是正确的，所以正确的有1个。
$\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}} = \frac{x - y}{(x - y)(x + y)} = \frac{1}{x + y}$，与给出的$\frac{1}{x - y}$不同，所以①错误。
对于②：
$\frac{y}{x} ÷ \frac{x}{y} · \left( - \frac{y}{x} \right) = \frac{y}{x} · \frac{y}{x} · \left( - \frac{y}{x} \right) = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$，与给出的$- \frac{y}{x}$不同，所以②错误。
对于③：
$\frac{(a - b)^{2}}{(a + b)^{2}}$，
由于分子和分母都是平方，且没有公共因子可以约去，所以结果不可能为$-1$，③错误。
对于④：
$\frac{a^{2} + ab}{a - b} ÷ \frac{ab}{a - b} = \frac{a(a + b)}{a - b} · \frac{a - b}{ab} = \frac{a + b}{b}$，与给出的$\frac{a + b}{b}$相同，所以④正确。
综上，只有④是正确的，所以正确的有1个。
9. 关于 x 的方程$\frac{2x-1}{x-2}=\frac{m}{x-2}+1$有增根,则 m 的值是(
A.0
B.2 或 3
C.2
D.3
D
)A.0
B.2 或 3
C.2
D.3
答案
D
解析
方程两边同乘$(x - 2)$去分母得：$2x - 1 = m + x - 2$，
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为$0$的根，所以该分式方程的增根为$x = 2$，
把$x = 2$代入整式方程$2x - 1 = m + x - 2$中，得$2×2 - 1 = m + 2 - 2$，
即$3 = m + 0$，
解得$m = 3$。
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为$0$的根，所以该分式方程的增根为$x = 2$，
把$x = 2$代入整式方程$2x - 1 = m + x - 2$中，得$2×2 - 1 = m + 2 - 2$，
即$3 = m + 0$，
解得$m = 3$。
10. 对于实数 a,b,定义一种新运算“ * ”为 $a * b=\frac{1}{a-b^{2}}$,这里等式右边是实数运算,例如:1*3=$\frac{1}{1-3^{2}}=-\frac{1}{8}$。方程 $x * (-2)=\frac{2}{x-4}-1$ 的解是(
A.x=4
B.x=5
C.x=6
D.x=7
B
)A.x=4
B.x=5
C.x=6
D.x=7
答案
B
解析
根据新运算定义，$x*(-2)=\frac{1}{x-(-2)^2}=\frac{1}{x-4}$。
方程可化为：$\frac{1}{x-4}=\frac{2}{x-4}-1$
两边同乘$x-4$（$x\neq4$）得：$1=2-(x-4)$
解得：$x=5$
经检验，$x=5$是原方程的解。
B
方程可化为：$\frac{1}{x-4}=\frac{2}{x-4}-1$
两边同乘$x-4$（$x\neq4$）得：$1=2-(x-4)$
解得：$x=5$
经检验，$x=5$是原方程的解。
B
11. 若$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{7}{m+n}$,则$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为
5
。答案
由题意，$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{7}{m + n}$，
首先对等式左边通分：
$\frac{n + m}{mn} = \frac{7}{m + n}$，
交叉相乘得：
$(m + n)^2 = 7mn$，
接下来，考虑目标表达式$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$，
通分后得：
$\frac{n^2 + m^2}{mn}$，
利用完全平方公式，有：
$n^2 + m^2 = (m + n)^2 - 2mn$，
将之前得到的$(m + n)^2 = 7mn$代入上式，得：
$n^2 + m^2 = 7mn - 2mn = 5mn$，
所以，
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn} = \frac{5mn}{mn} = 5$。
故答案为：5。
首先对等式左边通分：
$\frac{n + m}{mn} = \frac{7}{m + n}$，
交叉相乘得：
$(m + n)^2 = 7mn$，
接下来，考虑目标表达式$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$，
通分后得：
$\frac{n^2 + m^2}{mn}$，
利用完全平方公式，有：
$n^2 + m^2 = (m + n)^2 - 2mn$，
将之前得到的$(m + n)^2 = 7mn$代入上式，得：
$n^2 + m^2 = 7mn - 2mn = 5mn$，
所以，
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn} = \frac{5mn}{mn} = 5$。
故答案为：5。
12. 当 x=
$\frac{12}{5}$
时,分式$\frac{1}{5-x}$与分式$\frac{2}{2-3x}$的值互为相反数。答案
$\frac{12}{5}$
解析
根据题意，分式$\frac{1}{5 - x}$与$\frac{2}{2 - 3x}$的值互为相反数，可列方程：
$\frac{1}{5 - x} + \frac{2}{2 - 3x} = 0$
方程两边同乘$(5 - x)(2 - 3x)$去分母得：
$(2 - 3x) + 2(5 - x) = 0$
去括号：
$2 - 3x + 10 - 2x = 0$
合并同类项：
$12 - 5x = 0$
解得：
$x = \frac{12}{5}$
检验：当$x = \frac{12}{5}$时，$(5 - x)(2 - 3x) = \left(5 - \frac{12}{5}\right)\left(2 - 3×\frac{12}{5}\right) = \frac{13}{5}×\left(-\frac{26}{5}\right) \neq 0$，所以$x = \frac{12}{5}$是原方程的解。
$\frac{1}{5 - x} + \frac{2}{2 - 3x} = 0$
方程两边同乘$(5 - x)(2 - 3x)$去分母得：
$(2 - 3x) + 2(5 - x) = 0$
去括号：
$2 - 3x + 10 - 2x = 0$
合并同类项：
$12 - 5x = 0$
解得：
$x = \frac{12}{5}$
检验：当$x = \frac{12}{5}$时，$(5 - x)(2 - 3x) = \left(5 - \frac{12}{5}\right)\left(2 - 3×\frac{12}{5}\right) = \frac{13}{5}×\left(-\frac{26}{5}\right) \neq 0$，所以$x = \frac{12}{5}$是原方程的解。
13. 已知$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}=\frac{3x-4}{(x-1)(x-2)}$,则 3A+2B=
7
。答案
将等式左边的两个分式通分：
$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} = \frac{A(x - 2) + B(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}$，
展开并合并同类项：
$= \frac{(A + B)x - (2A + B)}{(x - 1)(x - 2)}$，
由于左右两边恒等，所以分子部分必须相等：
$A(x-2)+B(x-1) = 3x - 4$，
即：
$(A + B)x - (2A + B) = 3x - 4$，
比较同类项的系数，得到以下方程组：
$\begin{cases}A + B = 3, \\2A + B = 4.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}A = 1, \\B = 2.\end{cases}$
最后，代入$3A + 2B$：
$3A + 2B = 3 × 1 + 2 × 2 = 7$，
故答案为：$7$。
$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} = \frac{A(x - 2) + B(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}$，
展开并合并同类项：
$= \frac{(A + B)x - (2A + B)}{(x - 1)(x - 2)}$，
由于左右两边恒等，所以分子部分必须相等：
$A(x-2)+B(x-1) = 3x - 4$，
即：
$(A + B)x - (2A + B) = 3x - 4$，
比较同类项的系数，得到以下方程组：
$\begin{cases}A + B = 3, \\2A + B = 4.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}A = 1, \\B = 2.\end{cases}$
最后，代入$3A + 2B$：
$3A + 2B = 3 × 1 + 2 × 2 = 7$，
故答案为：$7$。
14. 若关于 x 的方程$\frac{x}{x-1}-2=\frac{3m}{2x-2}$的解为正数,则 m 的取值范围是
$m ＜ \frac{4}{3}$ 且 $m \neq \frac{2}{3}$
。答案
首先，将方程$\frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{3m}{2x - 2}$两边都乘以$2(x - 1)$（即$2x - 2$）以消去分母，得到：
$2x - 4(x - 1) = 3m$
展开并整理得：
$2x - 4x + 4 = 3m$
$-2x + 4 = 3m$
$x = 2 - \frac{3}{2}m$
由题意，方程的解$x$为正数，并且$x \neq 1$，因此有：
$2 - \frac{3}{2}m ＞ 0$
$2 - \frac{3}{2}m \neq 1$
解第一个不等式得：
$m ＜ \frac{4}{3}$
解第二个不等式得：
$m \neq \frac{2}{3}$
综合以上两个条件，得到$m$的取值范围是：
$m ＜ \frac{4}{3}$ 且 $m \neq \frac{2}{3}$。
$2x - 4(x - 1) = 3m$
展开并整理得：
$2x - 4x + 4 = 3m$
$-2x + 4 = 3m$
$x = 2 - \frac{3}{2}m$
由题意，方程的解$x$为正数，并且$x \neq 1$，因此有：
$2 - \frac{3}{2}m ＞ 0$
$2 - \frac{3}{2}m \neq 1$
解第一个不等式得：
$m ＜ \frac{4}{3}$
解第二个不等式得：
$m \neq \frac{2}{3}$
综合以上两个条件，得到$m$的取值范围是：
$m ＜ \frac{4}{3}$ 且 $m \neq \frac{2}{3}$。
15. 我国明代《永乐大典》记载:“今有绫、罗共三丈,各直钱八百九十六文,只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文。问绫、罗尺价各几何。”其大意为:现在有绫布和罗布长共 3 丈(1 丈=10 尺),已知绫布和罗布分别出售均能收入 896 文钱,绫布和罗布各出售 1 尺共收入 120 文钱。问:两种布每尺各多少文钱?设绫布有 x 尺,则可得方程为
$\frac{896}{x} + \frac{896}{30 - x} = 120$
。答案
设绫布有x尺，则罗布有(30 - x)尺。
绫布每尺价格为$\frac{896}{x}$文，罗布每尺价格为$\frac{896}{30 - x}$文。
由绫布和罗布各1尺共120文，得方程：
$\frac{896}{x} + \frac{896}{30 - x} = 120$
$\frac{896}{x} + \frac{896}{30 - x} = 120$
绫布每尺价格为$\frac{896}{x}$文，罗布每尺价格为$\frac{896}{30 - x}$文。
由绫布和罗布各1尺共120文，得方程：
$\frac{896}{x} + \frac{896}{30 - x} = 120$
$\frac{896}{x} + \frac{896}{30 - x} = 120$
