9. 如图，边长为1的小正方形网格中，$\odot O$的圆心在格点上，则$∠ AED$的余弦值是.

√5/5

连接AD，由网格特点及勾股定理得：AE=2，AD=4，ED=√[(1 - (-1))² + (-2 - 2)²]=2√5。
∵AE² + AD²=2² + 4²=20=(2√5)²=ED²，∴△AED是直角三角形，∠EAD=90°。
在Rt△AED中，cos∠AED=AE/ED=2/(2√5)=√5/5。

10. (2025苏州中考)如图，$∠ MON = 60^{\circ}$，以点O为圆心，2为半径画弧，分别交$OM$，$ON$于点A，B，再分别以点A，B为圆心，$\sqrt{6}$为半径画弧，两弧在$∠ MON$内部相交于点C，作射线$OC$，连接$AC$，$BC$，则$\tan ∠ OCB$的值为.

√5/5

连接OC，由题意知OA=OB=2，AC=BC=√6，OC平分∠MON，故∠BOC=30°。过B作BD⊥OC于D，在Rt△OBD中，BD=OB·sin30°=1，OD=OB·cos30°=√3。设CD=x，则OC=OD+CD=√3+x，在△OCB中，由余弦定理得BC²=OC²+OB²-2·OC·OB·cos30°，即6=(√3+x)²+4-2(√3+x)·2·(√3/2)，化简得x²=5，x=√5（x＞0）。在Rt△CBD中，tan∠OCB=BD/CD=1/√5=√5/5。

11. (2025东营中考)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章记载了有关弧田的问题.弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，“弦”即圆弧所对的弦长$AB$，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则$\cos ∠ OAB$的值为.

$\frac{4}{5}$（由于你提供的是填空题形式，若按选择常规思路这里直接填数值结果）。

设圆$O$的半径为$R$，圆心$O$到弦的距离为$d$，已知“矢”等于半径长与圆心$O$到弦的距离之差，且“矢”为$2$，则$R - d=2$，即$d = R - 2$。
因为弦$AB = 8$，过圆心$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，根据垂径定理可知$AC=\frac{1}{2}AB = 4$。
在$Rt△ AOC$中，根据勾股定理$OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}$，即$R^{2}=4^{2}+(R - 2)^{2}$。
展开式子得$R^{2}=16+R^{2}-4R + 4$。
移项可得$4R=20$，解得$R = 5$。
所以$d=R - 2=5 - 2 = 3$。
在$Rt△ AOC$中，$\cos∠ OAB=\frac{AC}{OA}=\frac{4}{5}$。

12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$\tan B=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$.
（1）实践操作：用尺规作$AB$的垂直平分线，交直线$BC$于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）问题解决：在（1）的条件下，连接$AD$.求$\cos ∠ ADB$的值.

1/4

（1）略（尺规作图痕迹保留）。
（2）设AC=√15k，BC=3k（k＞0），由tanB=AC/BC=√15/3。
在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√[(√15k)²+(3k)²]=2√6k。
∵D在AB垂直平分线上，∴AD=BD，设BD=AD=x。
D在直线BC上，若D在BC延长线上，则CD=BD-BC=x-3k。
在Rt△ACD中，AC²+CD²=AD²，即(√15k)²+(x-3k)²=x²，解得x=4k。
∴AD=4k，CD=k。
在Rt△ACD中，cos∠ADB=cos∠ADC=CD/AD=k/(4k)=1/4。

13. （2025上海中考改编）如图，在平面直角坐标系中，已知$C(0,4)$，$P(2,0)$，$D(0,3m + 1)$，$Q(2,1 - m)$.
（1）求$\dfrac{PQ}{CD}$的值；
（2）当四边形$CDPQ$是直角梯形时，求其最小内角的正切值.

（1）1/3；（2）1/4

（1）∵C(0,4)，D(0,3m+1)，∴CD=|4-(3m+1)|=3|1-m|.
∵P(2,0)，Q(2,1-m)，∴PQ=|(1-m)-0|=|1-m|.
∴PQ/CD=|1-m|/(3|1-m|)=1/3（m≠1）.
（2）∵CD、PQ均为竖直线段，∴CD//PQ，四边形CDPQ为梯形.
要使四边形CDPQ为直角梯形，需腰与底垂直（底为竖直线，故腰需水平）.
①若腰DP水平，则D、P纵坐标相等：3m+1=0⇒m=-1/3.此时D(0,0)，Q(2,4/3).非直角内角正切值为3/4.
②若腰QC水平，则Q、C纵坐标相等：1-m=4⇒m=-3.此时Q(2,4)，D(0,-8).非直角内角正切值为1/4.
∵1/4＜3/4，∴最小内角正切值为1/4.