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6. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物 $OB$ 的影长 $OC$ 为 $16\,\mathrm{m}$,$OA$ 的影长 $OD$ 为 $20\,\mathrm{m}$,小明的影长 $FG$ 为 $2.4\,\mathrm{m}$,其中 $O$,$C$,$D$,$F$,$G$ 五点在同一直线上,$A$,$B$,$O$ 三点在同一直线上,且 $AO ⊥ OD$,$EF ⊥ FG$.已知小明的身高 $EF$ 为 $1.8\,\mathrm{m}$,求旗杆的高 $AB$.
答案
3m
解析
∵同一时刻，物高与影长成正比，且EF⊥FG，AO⊥OD，
∴△EFG∽△AOD∽△BOC，
∴$\frac{EF}{FG}=\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$。
已知EF=1.8m，FG=2.4m，OD=20m，OC=16m，
则$\frac{1.8}{2.4}=\frac{OA}{20}$，解得$OA=\frac{1.8}{2.4}×20=15\,\mathrm{m}$；
$\frac{1.8}{2.4}=\frac{OB}{16}$，解得$OB=\frac{1.8}{2.4}×16=12\,\mathrm{m}$。
∴旗杆高$AB=OA-OB=15-12=3\,\mathrm{m}$。
∴△EFG∽△AOD∽△BOC，
∴$\frac{EF}{FG}=\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$。
已知EF=1.8m，FG=2.4m，OD=20m，OC=16m，
则$\frac{1.8}{2.4}=\frac{OA}{20}$，解得$OA=\frac{1.8}{2.4}×20=15\,\mathrm{m}$；
$\frac{1.8}{2.4}=\frac{OB}{16}$，解得$OB=\frac{1.8}{2.4}×16=12\,\mathrm{m}$。
∴旗杆高$AB=OA-OB=15-12=3\,\mathrm{m}$。
7. 如图所示,小明欲测量一座古塔的高度,他拿来一根竹竿竖直插在地面上,然后自己退后,使眼睛通过竹竿的顶端刚好看到塔顶.若小明眼睛离地面 $1.6\,\mathrm{m}$,竹竿顶端离地面 $2.4\,\mathrm{m}$,小明到竹竿的距离 $DF = 2\,\mathrm{m}$,竹竿到塔底的距离 $DB = 33\,\mathrm{m}$,求这座古塔的高度.
答案
15.6m
解析
过点E作EH⊥AB于H，交CD于G。由题意知EF=1.6m，CD=2.4m，FD=2m，DB=33m。
∵EF、CD、AB均垂直于地面，∴EF//CD//AB，四边形EFDG、GD BH均为矩形，
∴EG=FD=2m，GH=DB=33m，EH=EG+GH=35m，CG=CD - EF=2.4 - 1.6=0.8m，AH=AB - EF=AB - 1.6。
∵CD//AB，∴△ECG∽△EAH，∴CG/AH=EG/EH，即0.8/(AB - 1.6)=2/35，
解得AB=15.6m。
∵EF、CD、AB均垂直于地面，∴EF//CD//AB，四边形EFDG、GD BH均为矩形，
∴EG=FD=2m，GH=DB=33m，EH=EG+GH=35m，CG=CD - EF=2.4 - 1.6=0.8m，AH=AB - EF=AB - 1.6。
∵CD//AB，∴△ECG∽△EAH，∴CG/AH=EG/EH，即0.8/(AB - 1.6)=2/35，
解得AB=15.6m。
8. (2025 广东模拟)如图,$AB$ 和 $CD$ 为两个同高的晾衣柱,$AB$ 高 $2.2\,\mathrm{m}$,一无弹性的绳子一端系在 $A$ 点,另一端 $P$ 系在柱子 $CD$ 上(不计绳结的长度),现有一裤子晾在上面,已知挂钩挂在绳子的 $O$ 点处,竖直方向上 $O$ 点到裤子最下方的距离为 $1\,\mathrm{m}$,绳子长度为 $2.5\,\mathrm{m}$,两个柱子间距 $BD = 2\,\mathrm{m}$,某位同学通过课外物理知识对图中衣服进行受力分析,并且得到一个结论:$∠ BAO = ∠ OPD$,为了保证裤子不沾地,求点 $P$ 离地面的距离至少为多少米?
答案
1.3
解析
设P点离地面距离为$ y \, \mathrm{m} $，O点离地面高度为$ h \, \mathrm{m} $，裤子不沾地需$ h ≥ 1 \, \mathrm{m} $。过O作地面垂线，垂足为E，设$ BE = x \, \mathrm{m} $，则$ ED = (2 - x) \, \mathrm{m} $。
由$ ∠ BAO = ∠ OPD $，得$ \tan ∠ BAO = \tan ∠ OPD $，即$ \frac{x}{2.2 - h} = \frac{2 - x}{y - h} $。设比例系数为$ k $，则$ x = k(2.2 - h) $，$ 2 - x = k(y - h) $，相加得$ 2 = k(y + 2.2 - 2h) $，即$ k = \frac{2}{y + 2.2 - 2h} $。
绳子长$ AO + OP = 2.5 \, \mathrm{m} $，$ AO = (2.2 - h)\sqrt{k^2 + 1} $，$ OP = (y - h)\sqrt{k^2 + 1} $，故$ (2.2 - h + y - h)\sqrt{k^2 + 1} = 2.5 $。将$ k = \frac{2}{t} $（$ t = y + 2.2 - 2h $）代入，得$ t\sqrt{(\frac{2}{t})^2 + 1} = 2.5 $，解得$ t = 1.5 $，即$ y + 2.2 - 2h = 1.5 $，$ y = 2h - 0.7 $。
当$ h = 1 \, \mathrm{m} $时，$ y $最小为$ 2 × 1 - 0.7 = 1.3 \, \mathrm{m} $。
由$ ∠ BAO = ∠ OPD $，得$ \tan ∠ BAO = \tan ∠ OPD $，即$ \frac{x}{2.2 - h} = \frac{2 - x}{y - h} $。设比例系数为$ k $，则$ x = k(2.2 - h) $，$ 2 - x = k(y - h) $，相加得$ 2 = k(y + 2.2 - 2h) $，即$ k = \frac{2}{y + 2.2 - 2h} $。
绳子长$ AO + OP = 2.5 \, \mathrm{m} $，$ AO = (2.2 - h)\sqrt{k^2 + 1} $，$ OP = (y - h)\sqrt{k^2 + 1} $，故$ (2.2 - h + y - h)\sqrt{k^2 + 1} = 2.5 $。将$ k = \frac{2}{t} $（$ t = y + 2.2 - 2h $）代入，得$ t\sqrt{(\frac{2}{t})^2 + 1} = 2.5 $，解得$ t = 1.5 $，即$ y + 2.2 - 2h = 1.5 $，$ y = 2h - 0.7 $。
当$ h = 1 \, \mathrm{m} $时，$ y $最小为$ 2 × 1 - 0.7 = 1.3 \, \mathrm{m} $。
