1. (2025 苏州中考改编)如图,一次函数 $ y = 2x + 4 $ 的图象与 $ x $ 轴, $ y $ 轴分别交于 $ A $, $ B $ 两点, 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0,x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ C $, 过点 $ B $ 作 $ x $ 轴的平行线, 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0,x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ D $. 连接 $ CD $.
(1) 直接写出 $ A $, $ B $ 两点的坐标;
(2) 若 $ △ BCD $ 是以 $ BD $ 为底边的等腰三角形, 求 $ k $ 的值.

(1)$A(-2,0)$，$B(0,4)$；(2)$16$

(1)对于一次函数$y=2x+4$，令$x=0$，得$y=4$，则$B(0,4)$；令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，则$A(-2,0)$。
(2)过$B(0,4)$作$x$轴平行线，其方程为$y=4$，与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$交于$D$，则$D(\frac{k}{4},4)$。设$C(m,n)$，因$C$在$y=2x+4$和$y=\frac{k}{x}$上，故$n=2m+4$且$k=mn$。$△ BCD$以$BD$为底边，故$BC=DC$。
$BC=\sqrt{m^2+(n-4)^2}=\sqrt{m^2+(2m)^2}=\sqrt{5}m$。$D(\frac{k}{4},4)=(\frac{m(2m+4)}{4},4)=(\frac{m(m+2)}{2},4)$，$DC=\sqrt{(m-\frac{m(m+2)}{2})^2+(n-4)^2}=\sqrt{(\frac{-m^2}{2})^2+(2m)^2}=\frac{m\sqrt{m^2+16}}{2}$。
由$BC=DC$，得$\sqrt{5}m=\frac{m\sqrt{m^2+16}}{2}$，$m＞0$，两边约去$m$，平方得$5=\frac{m^2+16}{4}$，解得$m^2=4$，$m=2$。则$n=2×2+4=8$，$k=mn=2×8=16$。

2. 如图, 在平面直角坐标系中, 等边 $ △ ABO $ 的顶点 $ A $ 在第一象限, 点 $ B(5,0) $, 双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0) $ 分别交 $ AO $, $ AB $ 于点 $ C $, $ D $. 若 $ OC = 3BD $, 求 $ k $ 的值.

9√3/4

∵△ABO为等边三角形，B(5,0)，∴OA=OB=AB=5，∠AOB=60°。
点A坐标：(OA·cos60°, OA·sin60°)=(5×1/2, 5×√3/2)=(5/2, 5√3/2)。
求直线AO解析式：过O(0,0)、A(5/2, 5√3/2)，斜率k₁=√3，∴y=√3x。
求直线AB解析式：过A(5/2, 5√3/2)、B(5,0)，斜率k₂=-√3，∴y=-√3(x-5)=-√3x+5√3。
设C(m, √3m)（在AO上），D(n, -√3n+5√3)（在AB上）。
∵C、D在双曲线y=k/x上，∴k=√3m²=√3n(5-n)，即m²=n(5-n)。
计算OC和BD：
OC=√(m²+(√3m)²)=2m；BD=√[(n-5)²+(-√3n+5√3)²]=2(5-n)（∵n＜5）。
由OC=3BD得2m=3×2(5-n)，即m=15-3n。
联立m=15-3n与m²=n(5-n)：
(15-3n)²=n(5-n)⇒2n²-19n+45=0⇒n=9/2（n=5舍）。
则m=15-3×9/2=3/2，k=√3m²=√3×(3/2)²=9√3/4。

3. 如图, $ A $ 是双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 在第一象限上的一动点, 连接 $ AO $ 并延长交另一分支于点 $ B $, 以 $ AB $ 为斜边作等腰 $ \mathrm{Rt} △ ABC $, 点 $ C $ 在第二象限, 随着点 $ A $ 的运动, 点 $ C $ 的位置也不断地变化, 但始终在某一函数图象上运动, 则这个函数的解析式为 .

$ y=-\dfrac{4}{x} $

设点$ A(a,\frac{4}{a}) $（$ a＞0 $），因$ A $、$ B $关于原点对称，故$ B(-a,-\frac{4}{a}) $。$ AB $中点为原点$ O $，等腰$ \mathrm{Rt}△ABC $中，$ CO=AO $且$ CO⊥AO $。向量$ \overrightarrow{OA}=(a,\frac{4}{a}) $，逆时针旋转$ 90° $得$ \overrightarrow{OC}=(-\frac{4}{a},a) $，即$ C(-\frac{4}{a},a) $。设$ C(x,y) $，则$ x=-\frac{4}{a} $，$ y=a $，消去$ a $得$ xy=-4 $，即$ y=-\frac{4}{x} $。