7. 若 $ ab ＜ 0 $, 则正比例函数 $ y = ax $ 与反比例函数 $ y = \frac{b}{x} $ 在同一坐标系中的大致图象可能是 ()

已知$ab\lt0$，则分两种情况讨论：
当$a\gt0$时，因为$ab\lt0$，所以$b\lt0$。
- 对于正比例函数$y = ax$，由于$a\gt0$，根据正比例函数$y = kx$（$k$为常数，$k\neq0$）的性质，当$k\gt0$时，函数图象经过一、三象限，所以$y = ax$的图象经过一、三象限。
- 对于反比例函数$y=\frac{b}{x}$，因为$b\lt0$，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$）的性质，当$k\lt0$时，函数图象在二、四象限，所以$y = \frac{b}{x}$的图象在二、四象限。
当$a\lt0$时，因为$ab\lt0$，所以$b\gt0$。
- 对于正比例函数$y = ax$，由于$a\lt0$，根据正比例函数$y = kx$（$k$为常数，$k\neq0$）的性质，当$k\lt0$时，函数图象经过二、四象限，所以$y = ax$的图象经过二、四象限。
- 对于反比例函数$y=\frac{b}{x}$，因为$b\gt0$，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$）的性质，当$k\gt0$时，函数图象在一、三象限，所以$y = \frac{b}{x}$的图象在一、三象限。
逐一分析选项：
选项A：正比例函数$y = ax$图象经过一、三象限，则$a\gt0$，反比例函数$y=\frac{b}{x}$图象在二、四象限，则$b\lt0$，满足$ab\lt0$。
选项B：正比例函数$y = ax$图象经过二、四象限，则$a\lt0$，反比例函数$y=\frac{b}{x}$图象在一、三象限，则$b\gt0$，不满足$ab\lt0$（此情况$ab\gt0$）。
选项C：正比例函数$y = ax$图象经过一、三象限，则$a\gt0$，反比例函数$y=\frac{b}{x}$图象在二、四象限，则$b\lt0$，但图象中反比例函数与正比例函数的位置关系不符合（当$a\gt0$，$b\lt0$时，没有该选项的这种图象组合）。
选项D：正比例函数$y = ax$图象经过二、四象限，则$a\lt0$，反比例函数$y=\frac{b}{x}$图象在一、三象限，则$b\gt0$，但图象中反比例函数与正比例函数的位置关系不符合（当$a\lt0$，$b\gt0$时，没有该选项的这种图象组合）。
A

8. 如图反映的是小明从家去食堂吃早餐, 接着去图书馆看书, 然后回家的过程, 其中 $ x $ 表示时间, $ y $ 表示小明离家的距离, 小明家、食堂、图书馆在同一条线上. 根据图中提供的信息, 下列说法正确的是 ()

A. 食堂离小明家 2.4 km
B. 小明在图书馆待了 20 min
C. 小明从图书馆回家的平均速度是 0.04 km/min
D. 图书馆在小明家和食堂之间

**选项A**：
- 由图象可知，小明从家去食堂，$8$分钟时到达离家最远的$2.6$千米处，所以食堂离小明家$2.6$千米，A选项**错误**。
- **选项B**：
- 小明到达图书馆（此时离家$2.4$千米）的时间是$28$分钟，离开图书馆的时间是$58$分钟。
- 那么小明在图书馆待的时间为$58 - 28=30$分钟，B选项**错误**。
- **选项C**：
- 图书馆离家$2.4$千米，小明从图书馆回家用的时间是$68 - 58 = 10$分钟。
- 根据速度公式$v=\frac{s}{t}$（$v$是速度，$s$是路程，$t$是时间），可得回家的平均速度$v=\frac{2.4}{10}=0.24$千米/分钟，C选项**错误**。
- **选项D**：
- 因为$2.4\lt2.6$，即图书馆离家的距离小于食堂离家的距离，所以图书馆在小明家和食堂之间，D选项**正确**。
D

1. 一次函数 $ y = kx + 1 $ 的图象经过点 $ (1, 2) $, 反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ (m, \frac{1}{2}) $, 则 $ m = $____.

2
1. 首先，将点$(1,2)$代入一次函数$y = kx + 1$中：
- 把$x = 1$，$y = 2$代入$y=kx + 1$，得到$2=k\times1 + 1$。
- 即$k + 1 = 2$，解得$k=2 - 1=1$。
2. 然后，得到反比例函数的表达式：
- 因为$k = 1$，所以反比例函数为$y=\frac{1}{x}$。
3. 最后，将点$(m,\frac{1}{2})$代入反比例函数$y=\frac{1}{x}$中：
- 把$x = m$，$y=\frac{1}{2}$代入$y=\frac{1}{x}$，得到$\frac{1}{2}=\frac{1}{m}$。
- 根据比例的性质，交叉相乘可得$m = 2$。

2. 已知 $ P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2) $ 是同一个反比例函数图象上的两点, 若 $ \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1} + 2 $, 且 $ y_2 = y_1 - \frac{1}{2} $, 则这个反比例函数的表达式为____.

$y = -\frac{1}{4x}$
因为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{x_2}$。
已知$\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1}+2$，$y_2 = y_1-\frac{1}{2}$，将$y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{x_2}$代入$y_2 = y_1-\frac{1}{2}$可得：
$\frac{k}{x_2}=\frac{k}{x_1}-\frac{1}{2}$，把$\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1}+2$代入上式得：
$k(\frac{1}{x_1}+2)=\frac{k}{x_1}-\frac{1}{2}$
展开括号得：$\frac{k}{x_1}+2k=\frac{k}{x_1}-\frac{1}{2}$
移项可得：$2k=-\frac{1}{2}$
解得$k = -\frac{1}{4}$。
所以这个反比例函数的表达式为$y = -\frac{1}{4x}$。

3. 直线 $ y_1 = k_1x + b_1(k_1 ＞ 0) $ 与 $ y_2 = k_2x + b_2(k_2 ＜ 0) $ 相交于点 $ (-2, 0) $, 且两直线与 $ y $ 轴围成的三角形面积为 4, 那么 $ b_1 - b_2 $ 等于____.

4
首先，对于直线$y_1 = k_1x + b_1$，令$x = 0$，则$y_1=b_1$，所以直线$y_1 = k_1x + b_1$与$y$轴的交点坐标为$(0,b_1)$。
对于直线$y_2 = k_2x + b_2$，令$x = 0$，则$y_2=b_2$，所以直线$y_2 = k_2x + b_2$与$y$轴的交点坐标为$(0,b_2)$。
两直线相交于点$(-2,0)$，两直线与$y$轴围成的三角形以$\vert b_1 - b_2\vert$为底（$b_1$与$b_2$在$y$轴上的距离），交点$(-2,0)$到$y$轴的距离$2$为高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，已知三角形面积$S = 4$，高$h = 2$，由$S=\frac{1}{2}\times\vert b_1 - b_2\vert\times2$。
因为$S = 4$，所以$\frac{1}{2}\times\vert b_1 - b_2\vert\times2=4$，即$\vert b_1 - b_2\vert=4$。
又因为$k_1\gt0$，直线$y_1 = k_1x + b_1$从左到右上升，$k_2\lt0$，直线$y_2 = k_2x + b_2$从左到右下降，且两直线相交于点$(-2,0)$，所以$b_1\gt0$，$b_2\lt0$，那么$b_1 - b_2\gt0$，所以$b_1 - b_2 = 4$。