1. 如图,抛物线$y= \frac {1}{2}x^{2}-2x-6$与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C.
(1)请直接写出点A,B,C的坐标;
(2)点F是抛物线上的一动点,作$FE// AC$,交x轴于点E,若以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形,求出所有符合条件的点F的坐标.

解: (1)$A(-2,0),B(6,0),$
$C(0,-6);$
(2)过点$F$作$FH⊥x$轴于点$H$.
∵以$A,C,E,F$为顶点的四边形是平行四边形,且$FE// AC,$
$\therefore FE=AC,$
$\therefore \triangle FHE\cong \triangle COA,$
$\therefore FH=CO=6.$
设$F(t,\frac {1}{2}t^{2}-2t-6),$
则$|\frac {1}{2}t^{2}-2t-6|=6,$
当$\frac {1}{2}t^{2}-2t-6=6$时,
解得$t=2\pm 2\sqrt {7},$
此时$F(2+2\sqrt {7},6)$或$(2-2\sqrt {7},6);$
当$\frac {1}{2}t^{2}-2t-6=-6$时,
解得$t=0$(舍去)或4,
此时$F(4,-6);$
综上所述,$F(4,-6)$或$(2+2\sqrt {7},6)$或$(2-2\sqrt {7},6).$

2. (2024武汉二中)如图,抛物线$y= ax^{2}+2ax+3$交x轴于A,B两点,交y轴于点C,且$AB= 4.$
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)点D在第二、四象限的抛物线上,在抛物线的对称轴上是否存在点E,使以A,C,D,E为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.

解: (1)$y=-x^{2}-2x+3;$
(2)存在. 理由如下:
$\because y=-x^{2}-2x+3$
$=-(x+1)^{2}+4,$
$\therefore$设$D(d,-d^{2}-2d+3),$
$E(-1,e).$
当$AC$是对角线时,$x_{A}+x_{C}=x_{D}+$
$x_{E},y_{A}+y_{C}=y_{D}+y_{E},$
$\therefore -3+0=d+(-1),$
$0+3=-d^{2}-2d+3+e,$
解得$d=-2,e=0,\therefore E(-1,0);$
当$AD$是对角线时,
$x_{A}+x_{D}=x_{C}+x_{E},$
$y_{A}+y_{D}=y_{C}+y_{E},$
$\therefore -3+d=0+(-1),$
$0+(-d^{2}-2d+3)=3+e,$
解得$d=2,e=-8,\therefore E(-1,-8).$
综上所述,点$E$的坐标为$(-1,0)$或$(-1,-8).$