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4. 如图，$△ ABC≌△ ADE$，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE相交于点F.
(1) 求证：$∠ CAE=∠ BAD$.
(2) 若$∠ BAD=35°$，求$∠ BED$的度数.
(1) 求证：$∠ CAE=∠ BAD$.
(2) 若$∠ BAD=35°$，求$∠ BED$的度数.
答案
(1) 证明：
∵△ABC ≌ △ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD.
(2) 解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B.
∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，
∴∠BED=∠BAD. 又
∵∠BAD=35°，
∴∠BED=35°.
∵△ABC ≌ △ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD.
(2) 解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B.
∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，
∴∠BED=∠BAD. 又
∵∠BAD=35°，
∴∠BED=35°.
解析
【分析】
(1) 要证明∠CAE=∠BAD，首先根据全等三角形对应角相等的性质，可得到∠BAC=∠DAE，观察两个角的构成可知它们都包含公共角∠BAE，将两个相等的角同时减去公共角∠BAE，即可推导出要证明的结论。
(2) 求∠BED的度数时，先利用全等三角形对应角相等得到∠D=∠B，再观察△AFD和△EFB，两个三角形中有一组对顶角∠AFD和∠EFB相等，结合三角形内角和为180°，即可推出∠BED=∠BAD，代入已知角度即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC ≌ △ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD.
(2) 解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B.
∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，
∴∠BED=∠BAD.
又
∵∠BAD=35°，
∴∠BED=35°.
【答案】
(1) ∠CAE=∠BAD得证；
(2) ∠BED=35°
【知识点】
全等三角形的性质，角的和差计算，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题的核心是准确找到全等三角形的对应角，结合角的运算关系和三角形内角和即可快速求解，是全等三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明∠CAE=∠BAD，首先根据全等三角形对应角相等的性质，可得到∠BAC=∠DAE，观察两个角的构成可知它们都包含公共角∠BAE，将两个相等的角同时减去公共角∠BAE，即可推导出要证明的结论。
(2) 求∠BED的度数时，先利用全等三角形对应角相等得到∠D=∠B，再观察△AFD和△EFB，两个三角形中有一组对顶角∠AFD和∠EFB相等，结合三角形内角和为180°，即可推出∠BED=∠BAD，代入已知角度即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC ≌ △ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD.
(2) 解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B.
∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，
∴∠BED=∠BAD.
又
∵∠BAD=35°，
∴∠BED=35°.
【答案】
(1) ∠CAE=∠BAD得证；
(2) ∠BED=35°
【知识点】
全等三角形的性质，角的和差计算，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题的核心是准确找到全等三角形的对应角，结合角的运算关系和三角形内角和即可快速求解，是全等三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.75
5. 如图，A，E，C三点在同一直线上，$△ ABC≌△ DAE$。
(1) 线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由。
(2) 请你猜想$△ ADE$满足什么条件时，$DE// BC$，并证明。
(1) 线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由。
(2) 请你猜想$△ ADE$满足什么条件时，$DE// BC$，并证明。
答案
(1) 解：DE=CE+BC. 理由：
∵△ABC≌△DAE，
∴AE=BC，DE=AC.
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC=AE+CE，
∴DE=CE+BC.
(2) 当△ADE满足∠AED=90°时，DE//BC. 证明：
∵△ABC≌△DAE，∠AED=90°，
∴∠C=∠AED=90°，∠DEC=180°-∠AED=90°，
∴∠C=∠DEC，
∴DE//BC. 即当△ADE满足∠AED=90°时，DE//BC.
∵△ABC≌△DAE，
∴AE=BC，DE=AC.
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC=AE+CE，
∴DE=CE+BC.
(2) 当△ADE满足∠AED=90°时，DE//BC. 证明：
∵△ABC≌△DAE，∠AED=90°，
∴∠C=∠AED=90°，∠DEC=180°-∠AED=90°，
∴∠C=∠DEC，
∴DE//BC. 即当△ADE满足∠AED=90°时，DE//BC.
解析
【分析】
(1) 推导三条线段的数量关系时，先从已知的全等三角形入手，利用全等三角形对应边相等的性质，得到两组相等的边：$AE=BC$、$DE=AC$；再结合A、E、C三点共线的条件，可知$AC=AE+CE$，最后通过等量代换就能得到DE、CE、BC的关系。
(2) 探究DE//BC的条件时，先根据平行线的判定定理，若两直线平行则内错角相等，即需要$∠ C=∠ DEC$；结合全等三角形对应角相等可知$∠ C=∠ AED$，因此需要$∠ DEC=∠ AED$，再结合平角为$180°$的性质，即可推出需要$∠ AED=90°$。
【解析】
(1) 线段数量关系为$DE=CE+BC$，理由：
$\because △ ABC ≌ △ DAE$，
$\therefore AE=BC$，$DE=AC$。
$\because$ A，E，C三点在同一直线上，
$\therefore AC=AE+CE$，
$\therefore DE=CE+BC$。
(2) 当$△ ADE$满足$∠ AED=90°$时，$DE // BC$，证明：
$\because △ ABC ≌ △ DAE$，$∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ C=∠ AED=90°$，$∠ DEC=180°-∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ C=∠ DEC$，
$\therefore DE // BC$。
【答案】
(1) $DE=CE+BC$；
(2) 当$△ ADE$满足$∠ AED=90°$时，$DE// BC$。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 平行线的判定
3. 线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题型，解题关键是准确找到全等三角形的对应边、对应角，结合线段和差关系、平行线判定定理即可完成推导，能够帮助学生巩固全等性质的应用，锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
(1) 推导三条线段的数量关系时，先从已知的全等三角形入手，利用全等三角形对应边相等的性质，得到两组相等的边：$AE=BC$、$DE=AC$；再结合A、E、C三点共线的条件，可知$AC=AE+CE$，最后通过等量代换就能得到DE、CE、BC的关系。
(2) 探究DE//BC的条件时，先根据平行线的判定定理，若两直线平行则内错角相等，即需要$∠ C=∠ DEC$；结合全等三角形对应角相等可知$∠ C=∠ AED$，因此需要$∠ DEC=∠ AED$，再结合平角为$180°$的性质，即可推出需要$∠ AED=90°$。
【解析】
(1) 线段数量关系为$DE=CE+BC$，理由：
$\because △ ABC ≌ △ DAE$，
$\therefore AE=BC$，$DE=AC$。
$\because$ A，E，C三点在同一直线上，
$\therefore AC=AE+CE$，
$\therefore DE=CE+BC$。
(2) 当$△ ADE$满足$∠ AED=90°$时，$DE // BC$，证明：
$\because △ ABC ≌ △ DAE$，$∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ C=∠ AED=90°$，$∠ DEC=180°-∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ C=∠ DEC$，
$\therefore DE // BC$。
【答案】
(1) $DE=CE+BC$；
(2) 当$△ ADE$满足$∠ AED=90°$时，$DE// BC$。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 平行线的判定
3. 线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题型，解题关键是准确找到全等三角形的对应边、对应角，结合线段和差关系、平行线判定定理即可完成推导，能够帮助学生巩固全等性质的应用，锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
6. (2024·济南) 如图，已知△ABC≌△DEC，∠A=60°，∠B=40°，则∠DCE的度数为 (
A.40°
B.60°
C.80°
D.100°
C
)A.40°
B.60°
C.80°
D.100°
答案
6. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，可知所求的∠DCE和△ABC中的∠ACB是对应角，二者相等。接下来只需要利用三角形内角和为180°，在已知∠A和∠B的度数的情况下，计算出∠ACB的度数，就能得到∠DCE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B$
将$∠ A=60°$，$∠ B=40°$代入得：
$∠ ACB = 180° - 60° - 40° = 80°$
$\because △ ABC ≌ △ DEC$，根据全等三角形对应角相等
$\therefore ∠ DCE = ∠ ACB = 80°$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是准确识别全等三角形的对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，注重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，可知所求的∠DCE和△ABC中的∠ACB是对应角，二者相等。接下来只需要利用三角形内角和为180°，在已知∠A和∠B的度数的情况下，计算出∠ACB的度数，就能得到∠DCE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B$
将$∠ A=60°$，$∠ B=40°$代入得：
$∠ ACB = 180° - 60° - 40° = 80°$
$\because △ ABC ≌ △ DEC$，根据全等三角形对应角相等
$\therefore ∠ DCE = ∠ ACB = 80°$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是准确识别全等三角形的对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，注重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.8
7. (2024·成都) 如图，$△ ABC ≌ △ CDE$，若$∠ D=35°$，$∠ ACB=45°$，则$∠ DCE$的度数为
100°
。答案
7. 100°
解析
【分析】
首先看到题目给出△ABC≌△CDE，我们首先想到全等三角形的对应角相等这一性质。要求∠DCE的度数，它是△CDE的内角，已知△CDE中∠D=35°，只需要再得到△CDE中另一个内角的度数即可。结合已知条件给出的∠ACB=45°，根据全等三角形对应角相等，可得∠ACB的对应角∠E=45°，最后利用三角形内角和为180°，减去△CDE中两个已知角的度数，就能求出∠DCE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC≌△CDE，
∴∠E=∠ACB=45°（全等三角形的对应角相等），
在△CDE中，根据三角形内角和定理可得：
∠D+∠E+∠DCE=180°，
将∠D=35°，∠E=45°代入上式：
∠DCE=180°-35°-45°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是准确找到全等三角形的对应角，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先看到题目给出△ABC≌△CDE，我们首先想到全等三角形的对应角相等这一性质。要求∠DCE的度数，它是△CDE的内角，已知△CDE中∠D=35°，只需要再得到△CDE中另一个内角的度数即可。结合已知条件给出的∠ACB=45°，根据全等三角形对应角相等，可得∠ACB的对应角∠E=45°，最后利用三角形内角和为180°，减去△CDE中两个已知角的度数，就能求出∠DCE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC≌△CDE，
∴∠E=∠ACB=45°（全等三角形的对应角相等），
在△CDE中，根据三角形内角和定理可得：
∠D+∠E+∠DCE=180°，
将∠D=35°，∠E=45°代入上式：
∠DCE=180°-35°-45°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是准确找到全等三角形的对应角，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
