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1. 如图,在 $\odot O$ 中,$\angle AOB = 90^{\circ}$,点 $C$、$D$ 三等分 $\overset{\frown}{AB}$. 下列说法中错误的是 (
A.$AE = EF = FB$
B.$EC = FD$
C.$AC = CD = DB$
D.$\angle DFB = 75^{\circ}$
A
)A.$AE = EF = FB$
B.$EC = FD$
C.$AC = CD = DB$
D.$\angle DFB = 75^{\circ}$
答案
A
解析
∵∠AOB=90°，C、D三等分$\overset{\frown}{AB}$，∴$\angle AOC=\angle COD=\angle DOB=30^\circ$。
选项C：等弧对等弦，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，故$AC=CD=DB$，C正确。
选项B：由坐标法或三角形全等可证$OE=OF$，又$OC=OD$，∴$EC=OC-OE=OD-OF=FD$，B正确。
选项D：在$\triangle OFB$中，$\angle OBF=45^\circ$，$\angle BOF=30^\circ$，$\angle OFB=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ$，$\angle DFB=180^\circ-\angle OFB=75^\circ$，D正确。
选项A：通过解三角形或坐标法计算得$AE\approx0.517r$，$EF\approx0.379r$，$AE\neq EF$，故$AE=EF=FB$不成立，A错误。
选项C：等弧对等弦，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，故$AC=CD=DB$，C正确。
选项B：由坐标法或三角形全等可证$OE=OF$，又$OC=OD$，∴$EC=OC-OE=OD-OF=FD$，B正确。
选项D：在$\triangle OFB$中，$\angle OBF=45^\circ$，$\angle BOF=30^\circ$，$\angle OFB=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ$，$\angle DFB=180^\circ-\angle OFB=75^\circ$，D正确。
选项A：通过解三角形或坐标法计算得$AE\approx0.517r$，$EF\approx0.379r$，$AE\neq EF$，故$AE=EF=FB$不成立，A错误。
2. 如图,在 $\odot O$ 中,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$,$\angle B = 70^{\circ}$,$\angle C$ 的度数为
70°
.答案
70°
解析
在$\odot O$中，因为$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，所以弦$AB=AC$，则$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle B = \angle C$。已知$\angle B = 70^{\circ}$，故$\angle C = 70^{\circ}$。
3. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,点 $C$ 在 $\odot O$ 上,$\angle AOC = 40^{\circ}$,$D$ 是 $\overset{\frown}{BC}$ 的中点,$\angle ACD = $
125
.答案
125°
解析
4. 如图,$OA$、$OB$、$OC$ 是 $\odot O$ 的半径,$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$,$D$、$E$ 分别是 $OA$、$OB$ 的中点. $CD$ 与 $CE$ 相等吗？为什么？
答案
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，
所以$\angle AOC = \angle BOC$。
因为$OA = OB$，$D$、$E$分别是$OA$、$OB$的中点，
所以$OD = OE$。
又因为$OC = OC$，
根据三角形全等（$SAS$）判定定理，
在$\triangle ODC$和$\triangle OEC$中，
$\begin{cases}OD = OE,\\\angle AOC=\angle BOC,\\OC = OC.\end{cases}$
所以$\triangle ODC\cong\triangle OEC(SAS)$。
所以$CD = CE$。
故$CD$与$CE$相等。
根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，
所以$\angle AOC = \angle BOC$。
因为$OA = OB$，$D$、$E$分别是$OA$、$OB$的中点，
所以$OD = OE$。
又因为$OC = OC$，
根据三角形全等（$SAS$）判定定理，
在$\triangle ODC$和$\triangle OEC$中，
$\begin{cases}OD = OE,\\\angle AOC=\angle BOC,\\OC = OC.\end{cases}$
所以$\triangle ODC\cong\triangle OEC(SAS)$。
所以$CD = CE$。
故$CD$与$CE$相等。
5. 如图,以 $□ ABCD$ 的顶点 $A$ 为圆心,$AB$ 为半径作圆,分别交 $AD$、$BC$ 于点 $E$、$F$,延长 $BA$,交 $\odot A$ 于点 $G$.
(1) 求证：$\overset{\frown}{GE} = \overset{\frown}{EF}$；
(2) 若劣弧 $\overset{\frown}{BF}$ 所对圆心角为 $70^{\circ}$,求 $\angle C$ 的度数.
(1) 求证：$\overset{\frown}{GE} = \overset{\frown}{EF}$；
(2) 若劣弧 $\overset{\frown}{BF}$ 所对圆心角为 $70^{\circ}$,求 $\angle C$ 的度数.
答案
(2) $\boxed{125^\circ}$
解析
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，
∴∠EAF=∠AFB（两直线平行，内错角相等）。
∵AB、AF是⊙A的半径，∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB（等边对等角），∴∠EAF=∠ABF。
∵AG是BA的延长线，AD//BC，∴∠GAE=180°-∠BAD，∠ABC=∠ABF=180°-∠BAD（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠GAE=∠ABC=∠EAF，
∴∠GAE=∠EAF，∴$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
(2)
∵劣弧$\overset{\frown}{BF}$所对圆心角为70°，∴∠BAF=70°。
∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB。
在△ABF中，∠BAF+∠ABF+∠AFB=180°，
∴70°+2∠ABF=180°，解得∠ABF=55°。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∠C=∠BAD。
∵AD//BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC=∠ABF=55°，
∴∠BAD=180°-55°=125°，∴∠C=125°。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，
∴∠EAF=∠AFB（两直线平行，内错角相等）。
∵AB、AF是⊙A的半径，∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB（等边对等角），∴∠EAF=∠ABF。
∵AG是BA的延长线，AD//BC，∴∠GAE=180°-∠BAD，∠ABC=∠ABF=180°-∠BAD（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠GAE=∠ABC=∠EAF，
∴∠GAE=∠EAF，∴$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
(2)
∵劣弧$\overset{\frown}{BF}$所对圆心角为70°，∴∠BAF=70°。
∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB。
在△ABF中，∠BAF+∠ABF+∠AFB=180°，
∴70°+2∠ABF=180°，解得∠ABF=55°。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∠C=∠BAD。
∵AD//BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC=∠ABF=55°，
∴∠BAD=180°-55°=125°，∴∠C=125°。
