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1. 下列说法不正确的是______(填序号).
①位似图形一定是相似图形；
②相似图形不一定是位似图形；
③位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
④位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行.
①位似图形一定是相似图形；
②相似图形不一定是位似图形；
③位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
④位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行.
④
答案
【解析】：
本题考查位似图形的性质。
①位似图形一定是相似图形：这是正确的，因为位似图形是特殊的相似图形，它们之间的对应角相等，对应边之间的比例也相等。
②相似图形不一定是位似图形：这也是正确的。相似图形只要求对应角相等，对应边之间的比例相等，但不一定满足位似的条件，即对应点连线不一定交于一点（位似中心）。
③位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比：这是位似图形的一个基本性质，因此这个说法是正确的。
④位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行：这是不正确的。位似图形中，每对对应点所在的直线应该相交于位似中心，而不是互相平行。
【答案】：
④
本题考查位似图形的性质。
①位似图形一定是相似图形：这是正确的，因为位似图形是特殊的相似图形，它们之间的对应角相等，对应边之间的比例也相等。
②相似图形不一定是位似图形：这也是正确的。相似图形只要求对应角相等，对应边之间的比例相等，但不一定满足位似的条件，即对应点连线不一定交于一点（位似中心）。
③位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比：这是位似图形的一个基本性质，因此这个说法是正确的。
④位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行：这是不正确的。位似图形中，每对对应点所在的直线应该相交于位似中心，而不是互相平行。
【答案】：
④
2. △ABC位似于△DEF,它们的周长比为2∶3. 若位似中心O到A的距离为6,则O到D的距离为______
9
.答案
解：∵△ABC位似于△DEF，它们的周长比为2∶3，
∴△ABC与△DEF的位似比为2∶3。
∵位似中心O到A的距离为6，
设O到D的距离为x，
则$\frac{OA}{OD}=\frac{2}{3}$，即$\frac{6}{x}=\frac{2}{3}$，
解得$x = 9$。
答案：9
∴△ABC与△DEF的位似比为2∶3。
∵位似中心O到A的距离为6，
设O到D的距离为x，
则$\frac{OA}{OD}=\frac{2}{3}$，即$\frac{6}{x}=\frac{2}{3}$，
解得$x = 9$。
答案：9
3. 如图所示,在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,将△ABC放大后得到△BDE. 若点A(2,0),B(6,0),则△ABC与△BDE的面积比是
$\frac{1}{9}$
.答案
【解析】：
本题考查位似图形的性质以及相似三角形的面积比与相似比的关系。
位似图形的性质：位似图形一定是相似图形，且对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
已知点$A(2,0)$，$B(6,0)$，以原点$O$为位似中心，将$\triangle ABC$放大后得到$\triangle BDE$。
计算$OA$与$OB$的长度：
$OA = 2$，$OB = 6$。
计算相似比：
因为位似中心为$O$，所以$\triangle ABC$与$\triangle BDE$的相似比等于$OA$与$OB$的比值，即$\frac{OA}{OB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
根据相似三角形的性质求面积比：
相似三角形面积比等于相似比的平方。
由于$\triangle ABC$与$\triangle BDE$相似，且相似比为$\frac{1}{3}$，所以它们的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】：
$\frac{1}{9}$
本题考查位似图形的性质以及相似三角形的面积比与相似比的关系。
位似图形的性质：位似图形一定是相似图形，且对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
已知点$A(2,0)$，$B(6,0)$，以原点$O$为位似中心，将$\triangle ABC$放大后得到$\triangle BDE$。
计算$OA$与$OB$的长度：
$OA = 2$，$OB = 6$。
计算相似比：
因为位似中心为$O$，所以$\triangle ABC$与$\triangle BDE$的相似比等于$OA$与$OB$的比值，即$\frac{OA}{OB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
根据相似三角形的性质求面积比：
相似三角形面积比等于相似比的平方。
由于$\triangle ABC$与$\triangle BDE$相似，且相似比为$\frac{1}{3}$，所以它们的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】：
$\frac{1}{9}$
4. 如图所示,在10×10的正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,以点A为位似中心画四边形AB′C′D′,使它与四边形ABCD位似,且相似比为2.
(1)在图中画出四边形AB′C′D′.
(2)△AC′D′是______三角形.
(1)在图中画出四边形AB′C′D′.
(2)△AC′D′是______三角形.
答案
【解析】：
(1) 根据位似图形的性质，以点$A$为位似中心，相似比为$2$，我们可以找到点$B$，$C$，$D$的对应点$B'$，$C'$，$D'$。具体地，对于每一个格点，我们将其坐标乘以$2$（以$A$为原点进行缩放），从而得到新的坐标。连接这些新坐标点，即可得到四边形$AB'C'D'$。
(2) 要判断$\bigtriangleup AC'D'$的形状，我们可以先计算各边的长度。
$AC' = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = 2\sqrt{5}$，
$AD' = \sqrt{(2-0)^2 + (-4-0)^2} = 2\sqrt{5}$，
$C'D' = \sqrt{(2-2)^2 + (4-(-4))^2} = 8$，
$由于 AC' = AD'$，且$AC'^{2} + AD'^{2} =C'D' ^{2} $，
因此，$\bigtriangleup AC'D'$是等腰直角三角形。
【答案】：
(1)
(2) 等腰直角。
5. 已知△ABC在平面直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度,如图所示).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的$△A_1B_1C_1,$并写出点$C_1$的坐标是______.
(2)若以点B为位似中心,在网格内画出$△A_2B_2C_2,$使$△A_2B_2C_2$与△ABC位似,且相似比为2,则点$C_2$的坐标是______.
$(3)△A_2B_2C_2$的面积是多少个平方单位？
]
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的$△A_1B_1C_1,$并写出点$C_1$的坐标是______.
(2)若以点B为位似中心,在网格内画出$△A_2B_2C_2,$使$△A_2B_2C_2$与△ABC位似,且相似比为2,则点$C_2$的坐标是______.
$(3)△A_2B_2C_2$的面积是多少个平方单位？
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答案
(1) 解：点C向下平移4个单位长度，纵坐标减4，C(2,2)→C₁(2, -2)。答案：(2, -2)
(2) 解：以B(3,4)为位似中心，相似比为2。
点C(2,2)到B的水平距离：2 - 3 = -1，竖直距离：2 - 4 = -2。
位似变换后水平距离：-1×2 = -2，竖直距离：-2×2 = -4。
C₂坐标：3 + (-2) = 1，4 + (-4) = 0，即(1,0)。
或水平距离：-1×(-2)=2，竖直距离：-2×(-2)=4，C₂坐标：3+2=5，4+4=8，即(5,8)。
答案：(1,0)或(5,8)
(3) 解：以(1,0)为例，A₂(-1,2)，B₂(3,4)，C₂(1,0)。
使用坐标面积公式：
面积 = $\frac{1}{2}$|(-1)(4-0) + 3(0-2) + 1(2-4)|
= $\frac{1}{2}$| -4 -6 -2 | = $\frac{1}{2}$×12 = 6
以(5,8)为例，面积相同。答案：12
