1. 2025年6月5日是二十四节气中的芒种.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能表明气候变化和农事季节，在农业生产上有重要的意义.下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是()

 

【解析】：
本题可根据中心对称图形的定义来判断各选项中的图形是否为中心对称图形。
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转$180^{\circ }$，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
选项A：
观察该图形，将其绕着平面内任意一点旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原来的图形无法重合，所以它不是中心对称图形。
选项B：
此图形绕着平面内任意一点旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原来的图形不能重合，因此它不是中心对称图形。
选项C：
该图形绕着平面内任意一点旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原来的图形不重合，所以它不是中心对称图形。
选项D：
把该图形绕着其中心旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原来的图形完全重合，满足中心对称图形的定义，所以它是中心对称图形。
【答案】：D

2. 在平面直角坐标系中，点(-2,3)关于原点对称的点的坐标为()
A.(-2,-3)
B.(2,3)
C.(2,-3)
D.(-2,3)

解：关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数。
点(-2,3)关于原点对称的点的横坐标为-(-2)=2，纵坐标为-3，
所以对称点的坐标为(2,-3)。
答案：C

3. 如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转$50^\circ$后得到△COD.若$\angle AOB=15^\circ$，则$\angle BOC$的大小是()

A.$35^\circ$
B.$50^\circ$
C.$65^\circ$
D.$80^\circ$

【解析】：本题可根据旋转的性质求出$\angle AOC$的度数，再结合$\angle AOB$的度数，进而求出$\angle BOC$的度数。
步骤一：根据旋转的性质求出$\angle AOC$的度数
旋转的性质为：旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
已知$\triangle AOB$绕点$O$按逆时针方向旋转$50^{\circ}$后得到$\triangle COD$，则$\angle AOC$就是旋转角，所以$\angle AOC = 50^{\circ}$。
步骤二：根据$\angle AOC$与$\angle AOB$的度数求出$\angle BOC$的度数
由图可知$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC$，已知$\angle AOB = 15^{\circ}$，$\angle AOC = 50^{\circ}$，将其代入上式可得：
$\angle BOC=\angle AOC - \angle AOB=50^{\circ}-15^{\circ}=35^{\circ}$
【答案】：A

4. 一个五角星图案如图所示，如果将此图案绕中心旋转一定角度后与原图重合，那么至少要旋转.

【解析】：
本题考查旋转对称图形的性质，即把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。要使五角星图案绕中心旋转一定角度后与原图重合，那么旋转的角度必须是$360^{\circ}$除以五角星的对称中心角数。五角星有$5$个对称中心角，所以每个对称中心角为$360^{\circ}÷5 = 72^{\circ}$，即至少要旋转$72^{\circ}$才能与原图重合。
【答案】：
$72^{\circ}$

5. 如图所示，将△ABC绕点A顺时针旋转$90^\circ$得到△ADE，点C的对应点E落在CB的延长线上，连接BD.若CE=7，则AC=.

1. 首先，根据旋转的性质：
因为$\triangle ABC$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ADE$，所以$AC = AE$，$\angle CAE=90^{\circ}$。
2. 然后，在$Rt\triangle ACE$中：
由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（在$Rt\triangle ACE$中，$a = AC$，$b = AE$，$c = CE$），又因为$AC = AE$，设$AC=x$，则$AE = x$。
根据勾股定理$AC^{2}+AE^{2}=CE^{2}$，即$x^{2}+x^{2}=CE^{2}$。
已知$CE = 7$，代入可得$2x^{2}=49$。
化简方程$2x^{2}=49$得$x^{2}=\frac{49}{2}$，则$x=\frac{7\sqrt{2}}{2}$（因为$x$表示线段长度，$x\gt0$）。
所以$AC=\frac{7\sqrt{2}}{2}$。

6. 如图所示，在△ABC中，$AB=\sqrt{2}$，AC=4.若以C为旋转中心，将线段CB顺时针旋转$90^\circ$得线段CD，连接AD，则AD的最小值为________.

解：过点C作CE⊥AC，使CE=AC=4，连接DE，AE。
由旋转性质得CD=CB，∠BCD=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB=∠ECD，
在△ACB和△ECD中，
AC=EC，∠ACB=∠ECD，CB=CD，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴DE=AB=√2，
在Rt△ACE中，AE=√(AC²+CE²)=√(4²+4²)=4√2，
∵AD≥AE-DE（当且仅当A、D、E三点共线时取等号），
∴AD≥4√2-√2=3√2，
即AD的最小值为3√2。
3√2

7. 如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3).

(1)请画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁，并写出A₁的坐标.
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转$90^\circ$后得到的△A₂B₂C₂.

【解析】：
(1)此题主要考查了关于原点对称点的性质以及图形的平移与坐标变化。关于原点对称的点，其横、纵坐标都是原数的相反数。已知点$A$的坐标，根据对称性质即可求得$A_1$的坐标。
(2)此题主要考查了图形的旋转，根据旋转的性质，对应点都旋转相同的角度，再利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案。
【答案】：
解：
(1)
 。
∵$A(2,4)$，
∴$A$关于原点对称的点$A_1$的坐标为$(-2,-4)$。
(2)