3. 某水坝的坡度$i= 1:\sqrt{3}$,坡长为20 m,则水坝的高度为()
A.10 m
B.20 m
C.40 m
D.$20\sqrt{3}$ m

A

坡度$i=1:\sqrt{3}$表示水坝的垂直高度与水平距离的比值为$1:\sqrt{3}$。设水坝的垂直高度为$x$米，则水平距离为$\sqrt{3}x$米。根据勾股定理，坡长$c$满足$c^2 = x^2 + (\sqrt{3}x)^2$。已知坡长$c=20$米，代入得$20^2 = x^2 + 3x^2$，即$4x^2 = 400$，解得$x^2 = 100$，所以$x=10$米。

4. 在坡度为1:2.4的山坡上种树,要求相邻两树间的水平距离为6 m,则斜坡上相邻两树间的坡面距离为()
A.6 m
B.6.5 m
C.12 m
D.14.4 m

B

已知坡度为1:2.4，表示垂直高度与水平距离的比为1:2.4。设相邻两树间的水平距离为$ x = 6m $，垂直高度为$ y $，根据坡度可得：
$\frac{y}{x} = \frac{1}{2.4}$
$y = \frac{6}{2.4} = 2.5m$
斜坡上相邻两树间的坡面距离为斜边，根据勾股定理：
$坡面距离 = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{6^2 + 2.5^2} = \sqrt{36 + 6.25} = \sqrt{42.25} = 6.5m$

5. 如图,在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°,沿着坡度为30°的斜坡前进400 m到D处(即$\angle DCB= 30^{\circ}$,$CD= 400$ m),测得A的仰角为60°,求山的高度AB.
______

设山的高度$ AB = h $。
1. 在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle ABC = 90^\circ $，$ \angle ACB = 45^\circ $，则$ \tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} $，故$ BC = AB = h $。
2. 过$ D $作$ DF \perp BC $于$ F $，在$ Rt\triangle CDF $中，$ \angle DCF = 30^\circ $，$ CD = 400 \, m $，则：
$ DF = CD \cdot \sin 30^\circ = 400 × \frac{1}{2} = 200 \, m $，
$ CF = CD \cdot \cos 30^\circ = 400 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3} \, m $。
3. 过$ D $作$ DG \perp AB $于$ G $，则四边形$ DFBG $为矩形，故$ DG = BF = BC - CF = h - 200\sqrt{3} $，$ AG = AB - BG = AB - DF = h - 200 $。
4. 在$ Rt\triangle ADG $中，$ \angle ADG = 60^\circ $，$ \tan 60^\circ = \frac{AG}{DG} $，即$ \sqrt{3} = \frac{h - 200}{h - 200\sqrt{3}} $。
5. 解方程：$ \sqrt{3}(h - 200\sqrt{3}) = h - 200 $，化简得$ (\sqrt{3} - 1)h = 400 $，故$ h = \frac{400}{\sqrt{3} - 1} = 200(\sqrt{3} + 1) $。
$ AB = 200(\sqrt{3} + 1) \, m $

6. 如图,在海面上生成了一股强台风,台风中心(记作点M)位于滨海市(记作点A)的南偏西15°,距离为$61\sqrt{2}$ km,且位于临海市(记作点B)正西方向$60\sqrt{3}$ km处. 台风中心正以72 km/h的速度沿北偏东60°的方向移动(假设台风在移动过程中的风力保持不变),距离台风中心60 km的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭.
(1)滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由.
(2)若受到此次台风侵袭,该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？

(1)______
(2)______

(1) 滨海市不会受到侵袭，临海市会受到侵袭；理由如下：
以台风中心初始位置M为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立坐标系。
临海市B在M正东方向$60\sqrt{3}\ km$处，坐标为$(60\sqrt{3},0)$。台风路径为北偏东$60^\circ$方向，直线方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$（即$\sqrt{3}x - 3y = 0$）。
点B到该直线距离$d_B=\frac{|\sqrt{3}\cdot60\sqrt{3}-3\cdot0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-3)^2}}=\frac{180}{2\sqrt{3}}=30\sqrt{3}\approx51.96\ km＜60\ km$，故临海市受侵袭。
滨海市A在M北偏东$15^\circ$方向$61\sqrt{2}\ km$处，坐标为$\left(\frac{61(\sqrt{3}-1)}{2},\frac{61(\sqrt{3}+1)}{2}\right)$。
点A到直线距离$d_A=\frac{|\sqrt{3}\cdot\frac{61(\sqrt{3}-1)}{2}-3\cdot\frac{61(\sqrt{3}+1)}{2}|}{2\sqrt{3}}=61\ km＞60\ km$，故滨海市不受侵袭。
(2) 临海市受侵袭持续时间：
台风路径上，以B为圆心、60km为半径的圆与路径交于两点，弦长$l=2\sqrt{60^2-(30\sqrt{3})^2}=60\ km$。
持续时间$t=\frac{60}{72}=\frac{5}{6}\ 小时$。
(1)临海市会受到此次台风的侵袭，滨海市不会；(2)$\frac{5}{6}$小时