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【例1】判断下列方程是不是一元二次方程：
(1)$x^{2}-5x= 0;$
(2)$9x^{2}+6= 2x(3x+1);$
(3)$\frac {1}{3x^{2}}= 2;$
(4)$x(5x-2)= x(x+1)+4x^{2}.$
【思路点拨】要判断一个方程是不是一元二次方程可以根据定义判定:①一个未知数.②未知数的最高次数是2.特别地,未知数的最高次项的系数不能为零.③方程是整式方程.
【解答】
(1)$x^{2}-5x= 0;$
(2)$9x^{2}+6= 2x(3x+1);$
(3)$\frac {1}{3x^{2}}= 2;$
(4)$x(5x-2)= x(x+1)+4x^{2}.$
【思路点拨】要判断一个方程是不是一元二次方程可以根据定义判定:①一个未知数.②未知数的最高次数是2.特别地,未知数的最高次项的系数不能为零.③方程是整式方程.
【解答】
答案
(1) 是
(2) 是
(3) 不是
(4) 不是
(2) 是
(3) 不是
(4) 不是
解析
(1) 方程 $x^{2}-5x= 0$ 中，只有一个未知数 $x$，且 $x$ 的最高次数是 2，未知数的最高次项的系数不为 0，且是整式方程，所以它是一元二次方程。
(2) 对于方程 $9x^{2}+6= 2x(3x+1)$，先展开右边得 $9x^{2}+6=6x^{2}+2x$，整理后得 $3x^{2} - 2x + 6 = 0$。此方程只有一个未知数 $x$，且 $x$ 的最高次数是 2，未知数的最高次项的系数不为 0，且是整式方程，所以它是一元二次方程。
(3) 方程 $\frac {1}{3x^{2}}= 2$ 中，虽然有 $x^2$，但它是出现在分母中，不是整式方程，所以它不是一元二次方程。
(4) 对于方程 $x(5x-2)= x(x+1)+4x^{2}$，展开并整理得 $5x^2 - 2x = x^2 + x + 4x^2$，进一步整理会发现所有 $x^2$ 项会相互抵消，得到 $-3x = 0$，此方程中 $x$ 的最高次数是 1，所以它不是一元二次方程。
(2) 对于方程 $9x^{2}+6= 2x(3x+1)$，先展开右边得 $9x^{2}+6=6x^{2}+2x$，整理后得 $3x^{2} - 2x + 6 = 0$。此方程只有一个未知数 $x$，且 $x$ 的最高次数是 2，未知数的最高次项的系数不为 0，且是整式方程，所以它是一元二次方程。
(3) 方程 $\frac {1}{3x^{2}}= 2$ 中，虽然有 $x^2$，但它是出现在分母中，不是整式方程，所以它不是一元二次方程。
(4) 对于方程 $x(5x-2)= x(x+1)+4x^{2}$，展开并整理得 $5x^2 - 2x = x^2 + x + 4x^2$，进一步整理会发现所有 $x^2$ 项会相互抵消，得到 $-3x = 0$，此方程中 $x$ 的最高次数是 1，所以它不是一元二次方程。
【例2】将下列方程化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$(2x+1)^{2}= (x+1)(3x+4);$
(2)$3x(x-1)= 2(x+2)+8.$
【思路点拨】整理方程的基本步骤是去括号、移项、合并同类项,再由一般形式回答各项系数的值.
【解答】
(1)$(2x+1)^{2}= (x+1)(3x+4);$
(2)$3x(x-1)= 2(x+2)+8.$
【思路点拨】整理方程的基本步骤是去括号、移项、合并同类项,再由一般形式回答各项系数的值.
【解答】
答案
(1)
去括号：
$(2x+1)^{2} = 4x^{2} + 4x + 1$
$(x+1)(3x+4) = 3x^{2} + 4x + 3x + 4 = 3x^{2} + 7x + 4$
将上述两个结果代入原方程得：
$4x^{2} + 4x + 1 = 3x^{2} + 7x + 4$
移项、合并同类项：
$x^{2} - 3x - 3 = 0$
所以，二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为-3。
(2)
去括号：
$3x(x-1) = 3x^{2} - 3x$
$2(x+2)+8 = 2x + 4 + 8 = 2x + 12$
将上述两个结果代入原方程得：
$3x^{2} - 3x = 2x + 12$
移项、合并同类项：
$3x^{2} - 5x - 12 = 0$
所以，二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-12。
去括号：
$(2x+1)^{2} = 4x^{2} + 4x + 1$
$(x+1)(3x+4) = 3x^{2} + 4x + 3x + 4 = 3x^{2} + 7x + 4$
将上述两个结果代入原方程得：
$4x^{2} + 4x + 1 = 3x^{2} + 7x + 4$
移项、合并同类项：
$x^{2} - 3x - 3 = 0$
所以，二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为-3。
(2)
去括号：
$3x(x-1) = 3x^{2} - 3x$
$2(x+2)+8 = 2x + 4 + 8 = 2x + 12$
将上述两个结果代入原方程得：
$3x^{2} - 3x = 2x + 12$
移项、合并同类项：
$3x^{2} - 5x - 12 = 0$
所以，二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-12。
1. 下列关于x的方程中,一元二次方程的个数有 (
①$\sqrt {2}x^{2}-\frac {2}{3}x= 0;$
②$\frac {x-1}{x}= 2x-1;$
③$kx^{2}-3x+1= 0(k≠0);$
④$x^{2}-x^{2}(x^{2}+1)-3= 0;$
⑤$(x+3)x^{2}-3kx+2k-1= 0.$
A.0
B.1
C.2
D.3
2
)①$\sqrt {2}x^{2}-\frac {2}{3}x= 0;$
②$\frac {x-1}{x}= 2x-1;$
③$kx^{2}-3x+1= 0(k≠0);$
④$x^{2}-x^{2}(x^{2}+1)-3= 0;$
⑤$(x+3)x^{2}-3kx+2k-1= 0.$
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
① $\sqrt {2}x^{2}-\frac {2}{3}x= 0$：
此方程满足一元二次方程的定义，因为它只含有一个未知数$x$，且$x$的最高次数为2，且二次项系数$\sqrt{2} \neq 0$。
所以，此方程是一元二次方程。
② $\frac {x-1}{x}= 2x-1$：
此方程不是一元二次方程，因为它不是整式方程（含有分式）。
③ $kx^{2}-3x+1= 0 (k \neq 0)$：
此方程满足一元二次方程的定义，因为它只含有一个未知数$x$，且$x$的最高次数为2，且二次项系数$k \neq 0$。
所以，此方程是一元二次方程。
④ $x^{2}-x^{2}(x^{2}+1)-3= 0$：
此方程不是一元二次方程，因为未知数$x$的最高次数大于2。
⑤ $(x+3)x^{2}-3kx+2k-1= 0$：
此方程不是一元二次方程，因为当我们将$(x+3)$与$x^2$相乘时，得到$x^3 + 3x^2$，这意味着未知数$x$的最高次数大于2。
综上所述，只有①和③是一元二次方程，所以一元二次方程的个数为2。
故答案为：C. 2。
此方程满足一元二次方程的定义，因为它只含有一个未知数$x$，且$x$的最高次数为2，且二次项系数$\sqrt{2} \neq 0$。
所以，此方程是一元二次方程。
② $\frac {x-1}{x}= 2x-1$：
此方程不是一元二次方程，因为它不是整式方程（含有分式）。
③ $kx^{2}-3x+1= 0 (k \neq 0)$：
此方程满足一元二次方程的定义，因为它只含有一个未知数$x$，且$x$的最高次数为2，且二次项系数$k \neq 0$。
所以，此方程是一元二次方程。
④ $x^{2}-x^{2}(x^{2}+1)-3= 0$：
此方程不是一元二次方程，因为未知数$x$的最高次数大于2。
⑤ $(x+3)x^{2}-3kx+2k-1= 0$：
此方程不是一元二次方程，因为当我们将$(x+3)$与$x^2$相乘时，得到$x^3 + 3x^2$，这意味着未知数$x$的最高次数大于2。
综上所述，只有①和③是一元二次方程，所以一元二次方程的个数为2。
故答案为：C. 2。
2. 方程$(x-1)(x+3)= 12化为ax^{2}+bx+c= 0$的形式后,a,b,c的值分别为 (
A.1,-2,-15
B.-1,-2,-15
C.1,2,-15
D.-1,2,-15
C
)A.1,-2,-15
B.-1,-2,-15
C.1,2,-15
D.-1,2,-15
答案
C
解析
首先展开方程左边的乘积：
$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3 $原方程变为：$ x^2 + 2x - 3 = 12 $
移项整理为标准形式：
$x^2 + 2x - 15 = 0 $对比一般形式$ ax^2 + bx + c = 0，$可得 a = 1，b = 2，c = -15。
