【例1】下列说法正确的是 ()
A.小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似
B.商店新买来的一副三角板是相似的
C.所有的课本都是相似的
D.国旗的五角星都是相似的

【解答】
A. 小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片的形状不一定相同，大小也不一定成比例，因此不一定相似，选项错误；
B. 商店新买来的一副三角板，角度并不一定对应相等，因此不一定相似，选项错误；
C. 所有的课本的形状不一定相同，大小也不一定成比例，因此不一定相似，选项错误；
D. 国旗上的五角星它们的对应角相等，对应边成比例，因此都是相似的，选项正确。
故选D。

【例2】如图所示的相似四边形中,求未知边x,y的长度和角度α的大小.

【思路点拨】相似多边形的对应角相等、对应边的比相等,相似多边形对应边的比称为相似比.
【解答】

∵四边形相似，∴对应角相等，对应边成比例。
求角度α：
四边形内角和为360°。左边四边形已知角117°、77°，设另两角为β、γ；右边四边形已知角77°、83°，角为α、δ。
∵相似多边形对应角相等，77°为公共对应角，∴117°=α，β=83°，γ=δ。
左边内角和：117°+77°+83°+γ=360°⇒γ=83°，右边内角和：α+77°+83°+83°=360°⇒α=117°。
求边x、y：
设相似比为k，左边77°角夹边为4、6，右边77°角夹边为18、y（对应边）。
∴4/18=6/y⇒y=6×18/4=27。
左边与7对应边为x，4/18=7/x⇒x=7×18/4=63/2=31.5。
结论： x=31.5，y=27，α=117°。

1. 对同一个地区所绘制的各种地图,它们所具有的共同特点是 ()
A.大小相同
B.形状相同
C.大小及形状都相同
D.大小一定相同

B

答题卡：
1.B
解析:
对同一个地区，当改变地图的比例尺进行绘制时，地图的大小会发生变化，但地图上表示的各个地点的相对位置和形状不会改变。因此，所有地图的共同特点是形状相同。

2. 下列各组图形有可能不相似的是()
A.各有一个角是50°的两个等腰三角形
B.各有一个角是100°的两个等腰三角形
C.各有一个角是50°的两个直角三角形
D.两个等腰直角三角形

A. 对于各有一个角是$50^{\circ}$的两个等腰三角形，我们不知道这个$50^{\circ}$的角是顶角还是底角。
如果是顶角，那么底角为$(180^{\circ}-50^{\circ})÷ 2=65^{\circ}$；
如果是底角，那么顶角为$180^{\circ}-2× 50^{\circ}=80^{\circ}$。
由于存在两种可能性，所以这两个三角形不一定相似。
B. 对于各有一个角是$100^{\circ}$的两个等腰三角形，$100^{\circ}$的角只能是顶角（因为底角不可能大于$90^{\circ}$）。
所以，底角为$(180^{\circ}-100^{\circ})÷ 2=40^{\circ}$。
因此，这两个三角形一定相似。
C. 对于各有一个角是$50^{\circ}$的两个直角三角形，$50^{\circ}$的角只能是锐角，因为直角三角形的直角是$90^{\circ}$。
所以，另一个锐角为$180^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
因此，这两个三角形一定相似。
D. 对于两个等腰直角三角形，它们都有一个$90^{\circ}$的直角和两个$45^{\circ}$的锐角。
所以，这两个三角形一定相似。
综上所述，只有选项A中的两个三角形有可能不相似。
故答案为：A。

3. 在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中,若∠A= ∠A',∠B= ∠B',AB:A'B'= BC:B'C'= AD:A'D'(比值不等于1),则四边形ABCD和四边形A'B'C'D' ()
A.一定不相似
B.相似
C.不一定相似
D.全等

1. 根据题意，已知$\angle A = \angle A^{\prime} $，$\angle B = \angle B^{\prime} $，以及对应边的比例关系$AB:A^{\prime}B^{\prime} = BC:B^{\prime}C^{\prime} = AD:A^{\prime}D^{\prime} $（且比值不等于1）。
2. 由于只有两组对应角相等，以及三组对应边的比例关系，但并未给出所有对应边的比例关系，也未给出另一组对应角的关系，因此不能判定四边形ABCD与四边形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} $相似。
3. 考虑到比值不等于1，所以这两个四边形也不可能全等。
4. 综上，四边形ABCD和四边形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} $不一定相似。
故选C。

4. 把一个长为2的矩形剪去一个正方形后,所剩下的矩形与原矩形相似,则原矩形的宽为.

$\sqrt{5} - 1$对应的选项

设原矩形的宽为$x$，则剪去的正方形的边长为$x$，剩下的矩形的长为$x$，宽为$2 - x$。
由于剩下的矩形与原矩形相似，根据相似矩形的性质，有：
$\frac{2}{x} = \frac{x}{2 - x}$，
交叉相乘得：
$2(2 - x) = x^2$，
展开并整理得：
$4 - 2x = x^2$，
移项得：
$x^2 + 2x - 4 = 0$，
这是一个一元二次方程，我们可以使用求根公式或者配方法来求解。
这里我们使用求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，
其中，$a = 1, b = 2, c = -4$。
代入得：
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 × 1 × (-4)}}{2 × 1}$
$= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2}$
$= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}$
$= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2}$
$= -1 \pm \sqrt{5}$
所以，方程的两个解为：
$x_1 = \sqrt{5} - 1$，
$x_2 = - \sqrt{5} - 1$，
由于矩形的宽不能为负，所以舍去$x_2 = - \sqrt{5} - 1$。
因此，原矩形的宽为$\sqrt{5} - 1$。

5. 如图,等腰梯形ABCD与等腰梯形A'B'C'D'相似,∠A'= 65°,A'B'= 6cm,AB= 8cm,AD= 5cm,试求梯形ABCD各角的度数与A'D'的长.

3.75cm

由于等腰梯形$ABCD$与等腰梯形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$相似，所以对应角相等。
所以，$\angle A=\angle A^{\prime}=65^\circ$，
根据梯形的性质，$AB$和$CD$平行，$A^{\prime}B^{\prime}$和$C^{\prime}D^{\prime}$平行，
所以$\angle B=\angle A=65^\circ$，
$\angle C=\angle D=180^\circ-65^\circ=115^\circ$。
相似梯形的对应边成比例，即：
$\frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{AD}{A^{\prime}D^{\prime}}$，
代入已知数据：
$\frac{8}{6}=\frac{5}{A^{\prime}D^{\prime}}$，
解得：
$A^{\prime}D^{\prime}=\frac{5×6}{8}=3.75$（cm），
所以，梯形$ABCD$的各角度数为：
$\angle A=65^\circ$，$\angle B=65^\circ$，$\angle C=115^\circ$，$\angle D=115^\circ$，
$A^{\prime}D^{\prime}$的长为$3.75cm$。