例2 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α= 60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为cm。
[解答] 因为直尺的两对边相互平行,

所以∠ACB= ∠α=60°。
因为∠A= 60°,
所以∠ABC= 180°-∠ACB-∠A= 180°-60°-60°= 60°,
所以∠A= ∠ABC= ∠ACB,
所以△ABC是等边三角形,
所以AB= BC= 3-1= 2(cm)。
故答案为2。

2√3

因为直尺对边平行，所以∠ACB=∠α=60°。已知∠A=30°（含30°角的直角三角板），则∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-30°-60°=90°。点B、C刻度分别为1cm、3cm，所以BC=3-1=2cm。在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°，所以AC=2BC=4cm（直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半），由勾股定理得AB=√(AC²-BC²)=√(4²-2²)=2√3cm。

例3 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,垂足为点E,DE= 2。

(1)求∠DBC的度数；
(2)求AC的长度。
[解答] (1)因为DE垂直平分AB,
所以AD= BD。
因为∠A= 30°,
所以∠ABD= ∠A= 30°。
所以∠BDC= 180°-∠ADB= 180°-[180°-(∠A+∠ABD)]= ∠A+∠ABD= 60°。
在△BCD中,∠C= 90°,
所以∠DBC= 90°-∠BDC= 30°。
(2)在Rt△ADE中,
因为∠A= 30°,DE= 2,
所以AD= 2DE= 4,
所以BD= AD= 4。
在Rt△BCD中,
因为∠DBC= 30°,BD= 4,
所以CD= $\frac{1}{2}$BD= 2,
所以AC= AD+CD= 4+2= 6。

(1)∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABC - ∠ABD=60° - 30°=30°；
(2)在Rt△ADE中，∠A=30°，DE=2，
∴AD=2DE=4，
∴BD=AD=4，
在Rt△BCD中，∠DBC=30°，BD=4，
∴CD=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴AC=AD + CD=4 + 2=6。